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RE: [obm-l] Bolas em espacos metricos
'>'Eh verdade que, em todo espaco metrico, o fecho de uma bola aberta eh
a bola
'>'fechada de mesmos centro e raio?
N�o. Por exemplo, Z com a m�trica vinda do valor absoluto: a bola aberta
unit�ria de centro em x � {x}, logo ela tamb�m � fechada e ent�o coincide
com o fecho. Por outro lado, a bola fechada unit�ria de centro x � o conjunto
{x-1, x, x+1}.
'>'Se x pertence a a um espaco metrico X com metrica d, existe alguma condicao
'>'necessaria e suficiente para que os fechos das bolas abertas centradas
em
'>'x
'>'sejam as bolas fechada de mesmos centros e raios?
Para um raio r fixo, sejam B* a bola fechada de raio r e centro em x, B
a bola aberta de mesmo centro e raio, Bf o fecho dessa bola e B' o conjunto
de seus pontos de acumula��o. Temos Bf = B U B' e queremos saber se B* =
Bf.
Como B* � um fechado contendo B, temos que B* cont�m Bf, logo cont�m B'.
Para termos B* contido em Bf, � necess�rio e suficiente que todo o bordo
Bb = {y em X tal que d(y,x) = r} seja ponto de ader�ncia de B.
Assim, � necess�rio e suficiente que, para todo y em Bb e todo t > 0, exista
x(t) em B tal que 0 < d(y,x(t)) < t. Ou seja, � necess�rio e suficiente
que inf(d({y}xB)) = 0 para todo y tal que d(y,x) = r. Para estender isso
a toda bola centrada em x, � s� exigir a condi��o quando r tamb�m varia,
e isso se expressa exigindo que f(r) = inf(d{y}xB(r)), onde r = d(x,y) e
B(r) � a bola de centro x e raio r, seja identicamente nula para todo r
> 0. Ou seja, {y} n�o pode ser aberto.
Em particular, se a m�trica toma valores num conjunto discreto, ent�o a
topologia gerada � discreta e todo conjunto unit�rio � aberto, e da� vem
o porqu� do contra-exemplo mais acima.
'>'O interior de uma bola fechada de um espaco metrico eh sempre a bola
aberta
'>'de mesmos centro e raio?
N�o; novamente, � ver o exemplo da primeira parte.
Essas quest�es em espa�os m�tricos tamb�m se aplicam a intervalos abertos
e fechados e seus fechos e interiores quando X � um conjunto ordenado e
consideramos a topologia de ordem.
[]s,
Daniel
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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