Re: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio

Oi, Daniel:

Ou seja, voc� est� dizendo que se (R - X) � uma uni�o enumer�vel de intervalos abertos e � denso em R, ent�o X � no m�ximo enumer�vel?

Eu tenho certeza de que voc� conhece um contra-exemplo famoso pra essa afirma��o.

[]s,

Claudio.

De:

owner-obm-l@mat.puc-rio.br

Para:

obm-l@mat.puc-rio.br

C�pia:

Data:

Thu, 13 Oct 2005 15:44:57 -0300

Assunto:

Re: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio

> '>'E se, al�m de medida positiva e interior vazio, exigirmos que o tal

> conjunto

> '>'seja fechado?

> Se entendi direito, vc quer um conjunto A na reta com interior vazio, medida

> positiva (m(A) > 0) e que seja fechado. Neste caso, acho que tal conjunto

> n�o existe; vai abaixo a minha tentativa de mostrar isso por absurdo.

> Podemos supor que A est� contido em [0,1], j� que a interse��o de A com

> cada intervalo do tipo [n, n+1) com n inteiro d� uma soma disjunta enumer�vel

> igual a A, e como m(A) > 0, algum desses caras tem que ter medida positiva.

> Seja X = (0,1) inter Ac (Ac = complementar de A). Segue que X � aberto,

> e portanto X � decomposto como uma uni�o enumer�vel disjunta de intervalos

> do tipo I_n = (a_n, b_n), com a_n < a_(n+1). Se y est� em (0,1) e b_n <

> y < a_(n+1), pela defini��o de X e ordena��o dos I_n temos necessariamente

> que y est� em A, logo [b_n, a_(n+1)] est� contido em A. Sendo o interior

> de A vazio, isso implica que b_n = a_(n+1). Da mesma forma, a_1 = 0, e do

> fato de que o fecho de X � [0,1], temos que todo ponto de A � igual a algum

> a_n ou b_n, e ent�o A � enumer�vel, n�o podendo portanto ter medida positiva.

> []s,

> Daniel

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> Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em

> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html

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