Re: [obm-l] tangentes a uma curva (era: cyshine@yahoo.com)

[Carlos Yuzo Shine <cyshine@xxxxxxxxx>]

Oi Cleber,

Tudo �timo.

Acho muito legal voc� ter enviado essa mensagem para
mim, mas ela acabou indo para a lista da OBM.

Esse problema � da primeira fase da OBM universit�ria
2004, certo?

� o seguinte: seja y = ax + b a reta tangente
desejada. Cada interse��o da reta com a curva de
equa��o y = 3x^4 - 4x^3 corresponde a uma solu��o do
sistema y = ax + b e y = 3x^4 - 4x^3, que �
equivalente a y = ax + b e 3x^4 - 4x^3 = ax + b (*).

Como a reta � *tangente* � curva, alguma raiz da
equa��o (*) deve ter multiplicidade pelo menos dois.
Se n�o, a reta simplesmente cortaria a curva, e n�o
tangenciaria. Para isso ficar mais claro, imagine o
gr�fico de y = (x - 1)^2; esse gr�fico tangencia o
eixo x, que � a reta y = 0, em x=1, raiz de
multiplicidade 2 de (x-1)^2 = 0.

Como a reta � tangente � curva em dois pontos
distintos, cada um desses pontos representa uma raiz
de multiplicidade pelo menos 2, ou melhor, s�o dois
pontos correspondentes a duas ra�zes reais de
multiplicidade pelo menos 2 de (*). Como (*) �
polinomial de quarto grau, admite no m�ximo 4 ra�zes
reais. Assim, (*) admite exatamente duas ra�zes reais,
cada uma de multiplicidade 2 (se n�o, (*) teria mais
de 4 ra�zes).

Espero ter ajudado.

[]'s
Shine

--- cleber vieira <vieira_usp@yahoo.com.br> wrote:

>    
>     Oi Shine eh o Cleber tudo bem,gostaria de saber
> a
> resolu�ao do seguinte problema.
>     Determine a equacao da reta tangente a curva de
> equa�ao y= 3x^4 - 4x^3 em dois pontos distintos.
>     Na resolu�ao deste problema queremos encontrar a
> e
> b tais que P=3x^4-4x^3-ax-b tenha duas raizes reais
> duplas.Esse passo nao entendi,gostaria se possivel
> de
> um esclarecimento.
>    
>                 Muito obrigado Shine
> 
>     Vieira  
> 
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