Re: [obm-l] Re: [obm-l] m�dulos projetivos

[Lista OBM <obm_lista@xxxxxxxxxxxx>]

Ok Meu caro Ronaldo:

Problema:
 Mostre que um A-m�dulo P � projetivo se, e s� se
existe uma fam�lia {x_j} de elementos em P e
homomorfismos {f_j : P --> A} tais que para todo x em
P tem-se: 
x = soma[f_j(x).x_j] , onde a sequencia {f_j(x)} �
quase nula.

Obs.: 1) j estah em conjunto de �ndices J qualquer!
      2) f_j(x) quer dizer o homo. f_j aplicado em x.

Solu��o: 

|==>| Seja P um sonando direto de A-m�d. livre L com
base {e_i}. Tomemos f:P --> L e g:L --> P como sendo a
inclus�o de P em L e a proje��o de L sobre P,
respectivamente. Se x estah em P, ent�o f(x) pode ser
expresso como uma soma finita sum{t_i*e_i} (onde os
t_i pertencentes a A s�o unicamente determinados para
cada x!!!). Da� definimos f_i(x) = t_i e x_i = g(e_i)
(observe que os f_i s�o homomorfismos de P em A e que
os f_i(x) formam uma seq. quase nula!!!). Ent�o:

x = g(f(x)) = g(sum{t_i*e_i}) = sun{[t_i]*g(e_i)} =
sum{f_i(x)*x_i}.
Isto prova a ida do nosso problema. 

|<==| Agora seja L um m�dulo livre com base {e_i} e
definamos g:L --> P por g(e_i) = x_i. Defina tamb�m
f:P --> L por f(x) = sum{f_i(x)*e_i}. Da� temos que:
g(f(x)) = g(sum{f_i(x)*e_i}) = sum{f_i(x)*g(e_i)} =
sum{f_i(x)*x_i} = x, ou seja, gof(x) = x, para todo x
em P. Donde temos que a sequ�ncia exata

          0 --> Nuc(g) --> L ---> P --> 0

cinde e, portanto P � um somando direto um m�dulo
livre, o que nos garante que ele � projetivo.

E isso conclui a solu��o do nosso problema.

Meu caro Ronaldo, como vc deve ter observado, tem
alguns detalhes a� que valem a pena ser verificados.

Sem mais, �der.


--- Ronaldo Luiz Alonso
<ronaldo.luiz.alonso@bol.com.br> escreveu:
> >Consegui resolver!!!
> 
>    Oi �der.
>      Gostaria de ver sua solu��o.
> 
> []s   Ronaldo L. Alonso
> 
> >obrigado �queles que tentaram. Caso algu�m queira a
> >solu��o, � soh avisar que posso colocar aqui
> depois.
> >gratoi, �der.
> 
> 
> 
>
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> usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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