Re: [obm-l] ideais maximais

[Bernardo Freitas Paulo da Costa <bernardofpc@xxxxxxxxx>]

Bom, voc� tem que provar que n�o existe I contido em C([0,1]) tal que
J esteja contido em I, e todas as inclus�es sejam pr�prias (ou seja,
um conjunto estritamente maior do que aquele que ele cont�m).

Tome ent�o um ideal I, estritamente maior do que J. Assim, existe um
elemento deste anel que n�o est� em J, ou seja, uma fun��o g: [0,1] ->
R tal que g(1/2) != 0.
Seja ent�o g(1/2) = a; a fun��o h(x) = g(x) - a est� em J.

Para provar que J � maximal, agora basta provar que I = C([0,1]).
Ora, � claro que, como � um ideal e cont�m g, J, temos que I cont�m o
ideal gerado por (g, J) =  { f = ag + bj / a, b pertencem a C([0,1]) e
j pertence a J}.
Agora vamos provar que este ideal � tudo! Seja f em C([0,1]) - J.
(N�o precisamos fazer para J, j� que claramente I cont�m J)
Queremos escrever f na forma ag + bj. Para termos alguma chance de
conseguir isso, temos que fazer com que ag(1/2) + bj(1/2) = f(1/2).
Ora, j(1/2) = 0, logo ag(1/2) = f(1/2), e portanto a(1/2) = f(1/2) /
g(1/2). Bom, sejamos bastante otimistas: fa�a a(x) = a(1/2) = f(1/2) /
g(1/2) (fun��o constante!!) e veja que o que sobra � (f - ag)(1/2) =
f(1/2) - a(1/2)g(1/2) = 0, logo � uma fun��o que pertence a J. Assim,
podemos fazer b(x) = 1 para todo x e obtemos finalmente j = f - ag em
J, logo I = C([0,1]) e portanto J � maximal.

Acho que � isso.
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa


On Fri, 18 Mar 2005 17:25:18 -0300 (ART), Lista OBM
<obm_lista@yahoo.com.br> wrote:
> Gostaria de uma ajuda no problema abaixo:
> 
> Seja C([0,1]) o anel da fun��es cont�nuas em [0,1],
> com as opera��es (f + g)(x) = f(x) + g(x) e [f.g](x) =
> f(x).g(x), para todas f,g em C([0,1]). Seja J o
> conjunto de todas as fun��es f em C([0,1]) tais que
> f(1/2) = 0. Prove que J � um ideal maximal.
> 
> grato desde j�, �der.
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