Re: [obm-l] Racional ou Irracional???

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Thu, Mar 03, 2005 at 07:44:53AM -0300, cfgauss77 wrote:
>  Gostaria de uma ajuda no seguinte problema ou que me indicassem uma
>  literatura que me ajudasse no assunto.
> 
>   Demonstre que arcCos(3/5) � irracional.
> 
> Posso afirmar corretamente que arcCos(r) ou arcSen(r), com r racional, sempre
> ser� um irracional?

Ser� que voc� n�o quer dizer que arccos(3/5)/pi � irracional?
Se for isto, o seu problema � uma reformula��o de uma quest�o
que caiu no vestibular do IME de 1980-81 e que j� foi discutida
aqui mais de uma vez. O enunciado original era mais ou menos o seguinte:

 Seja z = (3+4i)/5. Prove que z n�o � raiz da unidade, ou seja,
 que z^n n�o � igual a 1 para nenhum n.

A solu��o mais curta e elementar que eu conhe�o � a seguinte.
Define z^n = (an + bn i)/(5^n). Assim
a0 = 1, b0 = 0
a1 = 3, b1 = 4
a2 = -7, b2 = 24
...
a(n+1) = an^2 - bn^2, b(n+1) = 2 an bn

Agora � f�cil provar por indu��o que an = 3 (mod 5) e bn = 4 (mod 4)
para todo n >= 1. Em particular, bn � diferente de 0 e z^n � diferente de 1.

O problema como voc� escreveu tamb�m � correto mas eu n�o sei fazer
de forma elementar (mas tamb�m n�o tentei muito). Ele � um corol�rio
do teorema de Lindemann:

 Teorema: Sejam a1, a2, ..., am n�meros alg�bricos distintos.
 Ent�o exp(a1), exp(a2), ..., exp(am) s�o linearmente independentes
 sobre o corpo dos n�meros alg�bricos.

(Estou traduzindo de Irrational Numbers, Ivan Niven,
The Carus Mathematical Monographs, no. 11, MAA, cap�tulo 9.)

Corol�rio: Se x � alg�brico, x diferente de 0, ent�o cos(x) � transcendente.

Demonstra��o: Sejam a1 = 0, a2 = ix, a3 = -ix.
Temos cos(x) = (exp(a2) + exp(a3))/2. Se cos(x) fosse alg�brico,
seria um m�ltiplo alg�brico de 1 = exp(a1), contrariando
o teorema de Lindemann.

Corol�rio do corol�rio:
Se x � racional, x diferente de 0, ent�o cos(x) � irracional.
Se x � racional, x diferente de 1, ent�o arccos(x) � irracional.

[]s, N.
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