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Re: [obm-l] Problemas em aberto - prob 10
Caro Demetrio,
No fim da sua explicacao, A-B nao pode ser uma potencia de y ? Nesse
caso, todos os fatores primos de A-B sao fatores primos de y.A^(y-1), e eu
nao entendi como voce conclui.
Abracos,
Gugu
>
> --- Claudio Buffara <claudio.buffara@terra.com.br>
>escreveu:
>
>> *****
>>
>> 10) Seja P = A^c - B^c,
>> onde:
>> A, B e c s�o inteiros e primos entre si,
>> A - B > 1,
>> c = n1*n2*...*ni*...nk ,
>> (os ni s�o fatores primos distintos, ou seja, c tem
>> k fatores
>> primos distintos).
>>
>> Mostre que P � um n�mero composto com, no m�nimo,
>> k+1
>> fatores primos distintos.
>>
>> *****
>
>Deixe eu colocar uma restri��o adicional c = impar.
>
>
>Em primeiro lugar � f�cil ver que todos os n�meros
>da forma A^ni - B^ni dividem P.
>
>Portanto, um caminho seria mostrar que, dados
>quaisquer n�meros da forma S1 = A^x - B^x e
>S2 = A^y - B^y, x e y primos entre si, S1 e S2 n�o
>podem ser m�ltiplos, isto �, possuem algum fator
>primo distinto entre si.
>
>
>
>****1**
>suponha A, B e x,y primos entre si. x e y primos
>diferentes de 2 e x > y.
>
>Hip�tese: se A^x - B^x tem fatores primos em
>comum com A^y - B^y, estes fatores est�o em A - B.
>
>
>Suponha que S1 = A^x - B^x cont�m um fator em
>comum com S2 = A^y - B^y.
>Seja
>F1 = A^(x-y) * S2 = A^(x-y) * (A^y - B^y) =
>A^x - [A^(x-y)*(B^y)].
>
>Naturalmente F1 cont�m o mesmo fator em comum
>com S1 e S2, e portanto F1 - S1 o conter� tamb�m.
>
>F1 - S1 = B^x - [A^(x-y)*(B^y)] =
>B^y * [B^(x-y) - A^(x-y)].
>
>Dado que A e B s�o primos entre si, o fator comum
>n�o pode estar em B^y, e portanto est� em
>B^(x-y) - A^(x-y).
>
>Agora pode-se repetir o racioc�nio para
>B^(x-y) - A^(x-y) e A^y - B^y,
>verificando qual dos dois expoentes � maior.
>Suponhamos que x-y > y. Neste caso podemos provar
>que o fator comum tamb�m est� em B^(x-2y) - A^(x-2y).
>Observe que, caso y > x-y provar�amos para o
>expoente 2y - x.
>
>Repetindo o racioc�nio interativamente vamos chegar
>at� o expoente 1. Note que, como x e y s�o primos,
>a sequencia de expoentes decrescentes n�o coincidir�
>com y.
>
>Por exemplo x = 19, y = 3.
>19 -> 16 -> 13 -> 10 -> 7 -> 4 ->1
>
>Por exemplo x = 17, y = 3.
>17 -> 14 -> 11 -> 8 -> 5 -> 2 ->1
>
>Por exemplo x = 19 y = 11.
>19 -> 8 -> 3 (11 - 8) -> 5 (8 - 3) -> 2 (5 - 3) -> 1
>(3 - 2)
>
>
>****2**
>S2 = A^y - B^y tamb�m possui ao menos um fator primo
>distinto da decomposi��o em fatores primos de A - B.
>
>Note-se que
>S2 = (A - B) * F3, onde
>F3 = A^y-1 + (A^(y-2))*B + ... + B^y-1
>
>Portanto, se a hip�tese estiver correta e S2
>contiver ao menos um fator primo distinto de A - B,
>este fator estar� em F3
>
>Note-se que F3 tem exatamente y termos.
>Se a Hip�tese estiver incorreta, isto �, se A - B
>contiver todos os fatores primos de F3, ent�o qualquer
>
>combina��o linear do tipo k1*(A - B) + k2*F3 tamb�m
>conter� todos estes fatores.
>
>Esta id�ia pode ser usada para reduzir-se os termos
>de F3 at� um �nico termo que obrigatoriamente teria
>de conter todos os fatores primos.
>
>Por exemplo vamos considerar y = 3.
>Neste caso F3 = A^2 +A*B +B^2
>
>F3 + A(A - B) = A^2 + A*B - A*B + B^2 = 2*A^2 + B^2
>2*A^2 + B^2 + (A + B)*(A - B) =
>2*A^2 + B^2 + A^2 - B^2 = 3*A^2
>
>y = 5, F3=A^4 +A^3*B +A^2*B^2 +A*B^3 +B^4
>F3 + A^3*(A - B) + A*B^2*(A - B) =
>2*A^4 +2*A^2*B^2 +B^4 = X1
>
>X1 + 2*A^2*(A + B)*(A - B) = X1 + 2*A^4 - 2*A^2*B^2=
> 4*A^4 + B^4
>
>4*A^4 + B^4 + A^4 - B^4 = 5*A^4
>
>Na verdade, caso (A - B) tenha todos os fatores primos
>de F3, � poss�vel transformar F3 em outras express�es
>que devem conter os mesmos fatores primos, atrav�s de
>"opera��es elementares", at� uma express�o na forma
>y*A^y-1 (ou y*B^y-1). Mas vamos recordar que A,B e y
>s�o primos entre si, portanto n�o � poss�vel
>que y*A^y-1 contenha os mesmos fatores primos de A -
>B.
>
>
>Em resumo, temos que
>**1** - Se S1 e S2 possuem fatores primos em comum,
>estes fatores est�o em A - B.
>
>**2** - S1 e S2 possuem ao menos um fator primo n�o
>contido em A - B
>
>Logo S1 e S2 possuem ao menos um fator distinto entre
>si.
>
>A extens�o para c par � direta fazendo A^2 - B^2
>= D - C
>
>[]�s
>
>
>
>
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>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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