[obm-l] RE: [obm-l] Fun�ao Quadratica

[Rog�rio Moraes de Carvalho <rogeriom@xxxxxxx>]

Ol� aryqueirozq,

	Segue uma poss�vel resolu��o para esta quest�o.


RESOLU��O POSS�VEL:

Observe que o enunciado do problema n�o garante que a != 0, portanto n�o
podemos garantir que se trata de uma fun��o do segundo grau em x (y = f(x)).
Mas, como as alternativas falam em valores de m�ximo e m�nimo, n�s
precisamos analisar os poss�veis valores de a. Temos que analisar os casos
tais que: a = 0, a > 0 (a fun��o admite valor m�nimo) e a < 0 (a fun��o
admite valor m�ximo).

Como os pontos (1, 1), (2, m) e (m, 2) pertencem � curva representada pela
equa��o y = ax^2 + bx + c, teremos:
a.1^2 + b.1 + c = 1 => a + b + c = 1 (E1)
a.2^2 + b.2 + c = m => 4a + 2b + c = m (E2)
a.m^2 + b.m + c = 2 => m^2.a + m.b + c = 2 (E3)

Para encontrar a, b e c em fun��o de m devemos resolver um sistema de 3
equa��es em rela��o �s 3 inc�gnitas a, b e c. Por�m, para a != 0 a equa��o
corresponde a uma par�bola. 
Segue a resolu��o pelo m�todo de elimina��o de Gauss:
a + b + c = 1 (E1)
3a + b = m - 1 (E4 = E2 - E1)
(m^2 - 1)a + (m - 1)b = 1 (E5 = E3 - E1)

a + b + c = 1 (E1)
3a + b = m - 1 (E4)
[(m^2 - 1) - 3(m - 1)]a = 1 - (m - 1)^2 (E6 = E5 - (m - 1).E4)

a + b + c = 1 (E1)
3a + b = m - 1 (E4)
(m^2 - 3m + 2)a = -m^2 + 2m <=> (m - 1)(m - 2)a = -m(m - 2) (E6)

O enunciado garante que m != 2, logo podemos dividir ambos os membros da
equa��o E6 por (m - 2) != 0, obtendo:
(m - 1)a = -m (E7)


PARA m = 1:

(E7) (1 - 1)a = -1 <=> 0.a = -1 (Imposs�vel no campo dos reais)


PARA m = 0:

(E7) (0 - 1)a = -0 <=> a = 0
(E4) 3.0 + b = 0 - 1 <=> b = -1
(E1) 0 + (-1) + c = 1 <=> c = 2
Neste caso, a fun��o seria do primeiro grau em x: y = 0.x^2 + (-1).x + 2 <=>
y = -x + 2. A fun��o � representa por uma reta n�o paralela aos eixos no
sistema de coordenadas cartesianas ortogonais e portanto n�o admite valor
m�nimo nem valor m�ximo.


PARA m != 0 e m != 1 e m != 2:

(E7) (m - 1)a = -m <=> a = -m/(m - 1), pois m != 1

ESTUDO DE SINAL DA EXPRESS�O -m/(m - 1):
       +      0   -        -    2      -
--------------o-----------------o-------------  -m
       -          -    1   +    2      +
-----------------------o--------o------------- m - 1
       -      0   +    1   -    2      -
--------------o--------o--------o------------- a = -m/(m - 1)

CONCLUS�O:
A fun��o admite valor m�ximo (a < 0) para m < 0 ou m > 1 e m != 2.
A fun��o admite valor m�nimo (a > 0) para 0 < m < 1.


RESPOSTA: Alternativa B

Rog�rio Moraes de Carvalho
-----Original Message-----
From: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br] On
Behalf Of aryqueirozq
Sent: domingo, 6 de junho de 2004 21:13
To: obm-l
Subject: [obm-l] Fun�ao Quadratica




No sistema  de coordenadas cartesianas ortogonais , a 
curva y=ax2 + bx + c passa pelos pontos (1,1) , ( 2,m) 
e (m, 2) , m � um n�mero real diferente de 2. Sobre 
esta curva podemos afirmar que:

aEla admite um m�nimo para todo m tal que �  <  m  <  
3/2
b)Ela admite um m�nimo para todo m tal que 0  <   m   
<   1
c)Ela admite um m�ximo para todo m tal que � � <   m  < 
1/2
d)Ela admite um m�ximo para todo m tal que �   < m < 3/2
e)Ela admite um m�ximo para todo m tal que    0  <  m   
<  1

  agre�o antecipadamente.
 
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