RE: [obm-l] cococolegio navalvalval

[Rog�rio Moraes de Carvalho <rogeriom@xxxxxxx>]

Ol� Paulo,

	No Web Site da Olimp�ada Brasileira de Matem�tica, voc� poder�
encontrar o seguinte par�grafo que descreve a Lista de Discuss�o de
Problemas de Matem�tica Ol�mpica:
"Est� aberta uma lista de discuss�o de problemas de Matem�tica Ol�mpica.
A lista � inteiramente gratuita e encontra-se aberta a todos os alunos e
professores que quiserem participar."

	Existem v�rios n�veis de Olimp�adas de Matem�tica no Brasil e no
mundo. Eu acredito que os alunos que est�o se preparando podem encontrar
nesta lista um ponto de apoio. Cada um deles vai ter seus pontos fortes e
fracos na Matem�tica, assim como qualquer um de n�s. Devemos ter bom senso
na hora de avaliar o que pode ser omitido numa resolu��o por ser �bvio e o
que deve ser apresentado por n�o ser t�o evidente.

	Eu entendi perfeitamente todos os passos do seu racioc�nio, por�m
ele n�o � conclusivo, omite detalhes que n�o s�o nem um pouco elementares e
n�o � suficiente nem mesmo para resolver a quest�o original do Col�gio Naval
com o enunciado incorreto.

	Quem sabe voc� n�o pode esclarecer OBJETIVAMENTE as quest�es que eu
apresento nos coment�rios abaixo. Entenda objetivamente como: apresentado
resultados completos (n�o parciais).

"1) Alguem errou o enunciado de uma questao e propos o calculo de 1/(M^2)  +

1/(N^3) quando deveria ter proposto 1/(N^3) + 1/(M^3).  Aqui, M e N sao
raizes de uma equacao do 2 grau."

COMENT�RIO: Apresente uma solu��o elegante para o problema com o enunciado
errado. Quem sabe voc� n�o aplica a sua generaliza��o do problema a este
caso particular. Por�m, que a resolu��o seja mais simples do que substituir
M e N pelas ra�zes da equa��o.


"2) Dado que (M+N)^P = M^P + ALGO MAIS + N^P => M^P + N^P = (M+N)^P - ALGO 
MAIS. Dai : 1/(N^P) + 1/(M^P) = [(M+N)^P - ALGO MAIS ]/(MN)^P e que (M+N)^P,
ALGO MAIS e (MN)^P podem ser efetivamente expressos em funcao de M+N e de MN
... ACABOU"

COMENT�RIO: Apresentar um racioc�nio Matem�tico com "ALGO MAIS" no meio de
uma express�o me parece algo um tanto quanto chulo. Dizer que "(M+N)^P, ALGO
MAIS e (MN)^P podem ser efetivamente expressos em funcao de M+N e de MN ...
ACABOU" omite uma quest�o nem um pouco elementar. Na realidade (M+N)^P e
(MN)^P j� est�o em fun��o de M+N, MN e P. Por�m, o "ALGO MAIS" que foi
omitido corresponde aos termos centrais (excluindo somente os termos
extremos) do desenvolvimento do Bin�mio de Newton e n�o � nem um pouco
simples coloc�-los em fun��o de M + N, MN e P.
Como voc� colocou como elementar esta passagem, por favor, nos apresente o
seu racioc�nio matem�tico e APRESENTE uma f�rmula geral que permita calcular
M^P + N^P em fun��o de M + N, MN e P.


"3) O Passo 2) acima, numa lista de discussao de problemas de matematica 
olimpica, e equivalente a querer ensinar o PAI NOSSO pra Padre Aposentado.
Logo, trivial e sem graca."

COMENT�RIO: Infelizmente, apesar de j� ter resolvidos v�rios problemas de
Olimp�adas de Matem�tica, eu ainda n�o consegui encontrar uma maneira
SIMPLES de deduzir M^P + N^P em fun��o de M + N, MN e P. Porque voc� n�o
compartilha a sua dedu��o elementar conosco.


"4) O erro de enunciado do passo 1) propoe uma questao que - nao obstante 
poder apresentar alguma assimetria - constitui-se num problema digno de
figurar nesta nossa lista e e conforme a nossa tradicao. Em x^2 - 10x + 1 =
0, como encontrar, por exemplo, 1/(M^537) + 1/(N^601), onde M e N sao
raizes."

COMENT�RIO: Eu estou ansioso para ver o valor de 1/(M^537) + 1/(N^601),
sendo M e N ra�zes da equa��o x^2 - 10x + 1 = 0. Qual � o resultado desta
express�o? Por favor, apresente as duas solu��es poss�veis para o problema.


"Isso me parece uma questao interessante... O desenvolvimento abaixo pode 
ajudar de alguma forma:"

COMENT�RIO: Quer dizer que o desenvolvimento apresentado n�o resolve a
quest�o que voc� prop�s? 


"Sejam N e M raizes e A e B naturais positivos. Podemos admitir que:

M^A + N^A = C1 = Efetivamente calculavel em funcao de M+N e MN
M^B + N^B = C2 = Efetivamente calculavel em funcao de M+N e MN
Daqui : (M^A + N^B) + (M^B + N^A ) = C1 + C2 = efetivamente calculavel"

COMENT�RIO: Na realidade, M^A + N^A = C1 pode ser calculado em fun��o de M +
N, MN e "A" e M^B + N^B = C2 pode ser calculado em fun��o de M + N, MN e
"B". Por favor, prove a sua afirma��o MOSTRANDO a express�o de M^A + N^A em
fun��o de M + N, MN e A.


COMENT�RIO DO RESTANTE DO RACIOC�NIO: Ser� que os jurados de uma Olimp�ada
de Matem�tica aceitariam o desenvolvimento de um racioc�nio matem�tico com a
omiss�o de v�rios passos essenciais e com express�es como "ALGO MAIS" e
"efetivamente calcul�vel"? Deste modo, seria simples demonstrar um teorema,
bastando para isto omitir partes da demonstra��o e utilizar um "ALGO MAIS"
ou um "efetivamente calcul�vel".
Quem sabe o Morgado, que j� foi membro do Jurado Internacional na 34�
Olimp�ada Internacional de Matem�tica, realizada em Istambul em 1993, n�o
poderia nos esclarecer esta d�vida.


Abra�os,

Rog�rio Moraes de Carvalho
-----Original Message-----
From: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br] On
Behalf Of Paulo Santa Rita
Sent: quinta-feira, 13 de maio de 2004 23:12
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: RE: [obm-l] cococolegio navalvalval

Ola Pessoal,

Vou ver se consigo ser mais claro agora.

1) Alguem errou o enunciado de uma questao e propos o calculo de 1/(M^2)  +

1/(N^3)
quando deveria ter proposto 1/(N^3) + 1/(M^3).  Aqui, M e N sao raizes de 
uma equacao
do 2 grau.

2) Dado que (M+N)^P = M^P + ALGO MAIS + N^P => M^P + N^P = (M+N)^P - ALGO 
MAIS.
Dai : 1/(N^P) + 1/(M^P) = [(M+N)^P - ALGO MAIS ]/(MN)^P e que (M+N)^P, ALGO 
MAIS e
(MN)^P podem ser efetivamente expressos em funcao de M+N e de MN ... ACABOU

3) O Passo 2) acima, numa lista de discussao de problemas de matematica 
olimpica, e equivalente
a querer ensinar o PAI NOSSO pra Padre Aposentado. Logo, trivial e sem 
graca.

4) O erro de enunciado do passo 1) propoe uma questao que - nao obstante 
poder apresentar
alguma assimetria - constitui-se num problema digno de figurar nesta nossa 
lista e e conforme a
nossa tradicao. Em x^2 - 10x + 1 = 0, como encontrar, por exemplo, 1/(M^537)

+ 1/(N^601),
onde M e N sao raizes.

Isso me parece uma questao interessante ... O desenvolvimento abaixo pode 
ajudar de alguma
forma :

Sejam N e M raizes e A e B naturais positivos. Podemos admitir que :

M^A + N^A = C1 = Efetivamente calculavel em funcao de M+N e MN
M^B + N^B = C2 = Efetivamente calculavel em funcao de M+N e MN
Daqui : (M^A + N^B) + (M^B + N^A ) = C1 + C2 = efetivamente calculavel

Mas (M^A+N^B)(M^B +N^A) = M^(A+B) + (MN)^A + (MN)^B + N^(A+B)
como M^(A+B) + N^(A+B) = (M+N)^(A+B) - ALGO MAIS = efetivamente
calculavel, entao :

(M^A+N^B)(M^B +N^A) = C3 = efetivamente calculavel

Fazendo M^A + N^B = D   e    M^B + N^A = E

D + E = C1 + C2
DE = C3
=> D e E sao efetivamente calculaveis.

Por lado, de :
M^A + N^A = C1 = Efetivamente calculavel em funcao de M+N e MN
M^B + N^B = C1 = Efetivamente calculavel em funcao de M+N e MN
Vem que C1*C2 = M^(A+B) + (M^A)(N^B) + (M^B)(N^A) + N^(A+B) =>
(M^A)(N^B) + (M^B)(N^A) = C1*C2 - [ M^(A+B) + N^(A+B) ] = C4 =
efetivamente calculavel e :

(M^A)(N^B)*(M^B)(N^A) = (MN)^(A+B) = C5 =efetivamente c alculavel

Fazendo (M^A)*(N^B) = F e (M^B)*(N^A) = G segue que :
F + G = C4
FG = C5
=> F e G sao efetivamente calculaveis.

Sao portanto efetivamente calculaveis D, E, F e G. Daqui :

1/(M^A)  +  1/(N^B) = [N^B +M^A]/[(M^A)(N^B)]=D/F = efetivamente calculavel
1/(M^B)  +  1/(N^A) = [N^A +M^B]/[(M^B)(N^A)]=E/G = efetivamente calculavel

Evidentemente, e necessario algum cuidado adicional num passo ou outro. Mas 
isso e de
somenos interesse e deixamos ao Dr Pangloss, para que ele mostre sua 
sapiencia e cuide
dos miiiiiinimos detalhes ...

E parabens ao colega que colocou o enunciado errado.

Um Abraco a Todos
Paulo Santa Rita
5,2310,130504

>From: Rog�rio Moraes de Carvalho <rogeriom@gmx.net>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Subject: RE: [obm-l] cococolegio navalvalval
>Date: Thu, 13 May 2004 16:14:14 -0300

>Quanto aos coment�rios do Paulo Santa Rita, eu n�o consegui entender
>a inten��o da quest�o proposta e nem a aplica��o para calcular 1/M^3 + 
>1/N^2
>no problema do Col�gio Naval. Inclusive, tem alguns passos que eu n�o
>consegui entender, como em:
>(M+N)^3 = M^3 + 2(M^2)N + 3M(N^2) +N^2 = M^3 +3MN(M+N) + N^3
>A express�o intermedi�ria n�o deveria ser M^3 + 3(M^2)N + 3M(N^2) + N^3 ao
>inv�s de M^3 + 2(M^2)N + 3M(N^2) +N^2? De qualquer modo, o resultado final
>ficou correto.
>
>	Eu n�o consegui entender a generaliza��o do problema e nem como esta
>generaliza��o pode ser aplicada para resolver este problema espec�fico.
>
>Abra�os,
>
>Rog�rio Moraes de Carvalho
>rogeriom@gmx.net

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