Re: [obm-l] A^2005 = I ==> A = I

["Domingos Jr." <dopikas@xxxxxxxxxx>]

> Uma duvida: existe uma maneira mais curta de se provar que A = I, dado que
> A^2005 = I e que os autovalores de A sao 1, 1 e 1?

tome a fatora��o de Schur de A: (Q � unit�ria e T � triangular superior)

http://mathworld.wolfram.com/SchurDecomposition.html

A = QTQ*
A^2005 = Q.T^2005.Q* = I =>
Q.T^2005.Q*.Q = I.Q
=> Q(T^2005  - I) = 0
mas Q � unit�ria e portanto T^2005 = I

os autovalores de A aparecem na diagonal de T, ou seja T tem diagonal (1, 1,
1)

note que
| 1 a b | | 1 a' b' |    | 1   a + a'  b + ac' + b' |
| 0 1 c | | 0 1 c' |  =  | 0      1         c + c'     |
| 0 0 1 | | 0 0 1  |      | 0      0            1       |

podemos verificar que se T � a matriz da esquerda e a = T(1, 2) < 0, ent�o
T^n(1,2) = n*a e T^n(2,3) = n*c
logo se T^2005 = I, a = c = 0, e nesse caso temos que T^n(1, 3) = n*b e
chegamos a conclus�o que b = 0 e T = I.

logo A = QTQ* = QIQ* = QQ* = I

[ ]'s

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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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