[obm-l] Enrolado com cardinalidades

[Andr� Martin Timpanaro <andre_math@xxxxxxxxxxx>]

Estou com uma d�vida quanto a prova da afirma��o abaixo:

-Dado um conjunto C, a cardinalidade do conjunto P de todos os subconjuntos 
de C � sempre maior que a cardinalidade de C.

PROVA: Se C � um conjunto finito de cardinalidade n, ent�o P tem 
cardinalidade 2^n. E 2^n>n para todo n>=0.

Suponha agora que C seja infinito, C tem a mesma cardinalidade que o 
subconjunto de P que cont�m todos os subconjuntos unit�rios de C e portanto 
a cardinalidade de C � menor ou igual a cardinalidade de P.

Suponha por absurdo que exista uma bije��o entre C e P. Seja M um conjunto 
com a seguinte propriedade, se x � um elemento de C e a bije��o associa a x 
um conjunto ao qual x n�o pertence, ent�o x pertence a M, do contr�rio, x 
n�o pertence a M. Ent�o por essa defini��o, M � subconjunto de C e essa 
bije��o deve associar um elemento y de C ao conjunto M.
Mas suponha que y pertence a M. Ent�o, por defini��o, y n�o pertence a M 
pois sen�o y estaria associado a um conjunto ao qual ele pertence e 
pertenceria a M ao mesmo tempo. Mas se y n�o pertence a M, ele est� 
associado com um conjunto ao qual ele n�o pertence e ao mesmo pertence a C, 
logo por defini��o deve pertencer a M. Ent�o o fato de M ter algum elemento 
associado a ele (qualquer elemento) � contradit�rio e logo M n�o est� 
associado a nenhum elemento de C. Absurdo!

Logo as cardinalidades de C e P s�o diferentes e portanto a cardinalidade de 
P � maior que a de C.
CQD.

-A minha d�vida � a seguinte: Ele n�o deveria considerar a possibilidade de 
que M pertencesse a P antes de come�ar a construir M?

Encontrei a prova no livro abaixo e ela era atribuida a Georg Cantor:
"The Art of Infinity"


Andr� T.

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