[obm-l] Re: L�ngua p�tria

["Augusto Cesar de Oliveira Morgado" <morgado@xxxxxxxxxxxxxxx>]

Tenho lido as mensagens a respeito desse assunto...
Tenho lido as mensagens sobre este tema...


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---------- Original Message -----------
From: "Nicolau C. Saldanha" <nicolau@mat.puc-rio.br>
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Wed, 17 Dec 2003 10:43:00 -0200
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: Conjuntos n�o-enumer� veis vs. dens os

> On Wed, Dec 17, 2003 at 09:45:50AM -0200, Artur Coste Steiner wrote:
> > Para este interessante problema, eu pensei um pouco mais, baseado na
> > observacoa do pedro, e cheguei aa seguinte prova, para a qual peco a 
opiniao
> > dos colegas.
> > Seja P o conjunto dos pontos de condensacao de S (pontos tais que qualquer
> > vizinhanca do mesmo intersecta S segundo um conjunto nao enumeravel). 
Como R
> > eh um espaco metrico separavel, P nao eh enumeravel, sendo portanto
> > infinito. Se x pertence a P, entao o interior de qualquer intervalo 
fechado
> > de comprimento positivo que contenha x tem com S uma interseccao nao
> > enumeravel, logo infinita. Se x<y pertencem a P, entao (x,y) contem
> > infinitos (na realidade, incontaveis) elementos de P, logo de S. Isto 
prova
> > que S contem um subconjunto denso no sentido da definicao apresentada pelo
> > colega Domingos. Achao que este eh o ponto que faltava para fechar a 
prova.
> 
> Tenho lido as mensagens deste thread (como o Morgado diz isso
> em lingua p�tria?) mas n�o escrevi nada at� agora pq estava
> claro para mim que outras pessoas tinham mandado solu��es
> corretas (por exemplo, a do Pedro Antonio Santoro Salomao),
> apesar de um pouco longas e pq eu tamb�m n�o sabia dar uma solu��o
> mais curta.
> 
> Esta solu��o usando o conceito de ponto de condensa��o fica bem
> mais curta, mas ser� que quem mandou a pergunta sabe o que �
> um ponto de condensa��o e acompanha a frase "como R � separ�vel,
> P � n�o enumer�vel"? E de qq maneira n�o est� exatamente correta,
> voc� precisa tomar apenas os pontos de condensa��o bilaterais.
> Sen�o, podemos ter P = S = [0,1] U [2,3]. Relembrando, x � um ponto
> de condensa��o bilateral de S se a interse��o de S com qualquer intervalo
> da forma (x,x+eps) ou da forma (x-eps,x) � n�o enumer�vel.
> O resultado (verdadeiro) que voc� precisa usar � o de que se S �
> n�o enumer�vel e Q � o conjunto dos pontos de condensa��o bilineares
> de S ent�o a interse��o T entre S e Q � n�o enumer�vel e denso
> (no sentido do problema original: se x < y pertencem a T ent�o
> existe z em T, x < z < y).
> 
> Repensando, a minha recomenda��o de solu��o seria a seguinte.
> 
> Seja S um subconjunto n�o enumer�vel de R.
> Considere todos os intervalos (a,b) tais que a e b s�o recionais
> e a interse��o se (a,b) com S � enumer�vel. Como s� existe uma
> quantidade enumer�vel de intervalos deste tipo a interse��o da uni�o
> de todos eles com S ainda � enumer�vel. Seja S' a interse��o de S
> com K, o complemento da uni�o destes intervalos. Claramente S'
> � n�o enumer�vel e K � um conjunto perfeito (i.e., fechado sem
> pontos isolados). Al�m disso, se um intervalo aberto I intersecta K
> ent�o a interse��o de I com S' � n�o enumer�vel. O conjunto fechado K
> tem um n�mero finito ou infinito enumer�vel de extremos (i.e,
>  extremos de um dos intervalos abertos disjuntos que comp�e o 
> complemento de K): jogue fora estes pontos de S' para obter S'': 
> este � o conjunto n�o enumer�vel denso pedido. De fato, se x < y 
> est�o em S'' ent�o o intervalo
> (x,y) intersecta K, donde intersecta S' em um conjunto n�o 
> enumer�vel, donde intersecta S'' em um conjunto n�o enumer�vel.
> 
> []s, N.
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> Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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