Caro Cl�udio,
Acho que encontrei uma
solu��o para aquele problema do grupo abeliano.
Conforme o enunciado existem n+1 subgrupos de ordem
n tais que se H e K forem quaisquer dois deles,
vale:
H inter K =
{e}
Por uma conta direta
usando cardinalidade, que algu�m j� tinha feito, sab�amos
que
G = HK =
KH
Vamos mostrar agora
que qualquer subgrupo H daqueles do enunciado � normal em G.
Seja h
<> e um elemento de H e g <> e elemento qualquer de
G.
Supomos que
ghg^(-1) = k onde k est�
em algum daqueles subgrupos K do enunciado que seja diferente de
H
Mas sabemos que g =
k1h1 para k1 e h1 em K e H, respectivamente.
Ent�o temos
k1h1hh1^(-1)k1^(-1) = k
Logo
h1hh1^(-1) = k1^(-1)kk1
O lado esquerdo est� em H e o direito em
K
Logo devem ser iguais a
e.
Concluimos
que
h = k =
e
o que � uma
contradi��o.
Da� decorre
que
ghg^(-1) n�o pode
estar fora de H e, portanto, H � normal.
Como isso vale para qualquer
H,
temos que H, K e todos
os outros subgrupos do enunciado s�o normais em
G.
Agora fica f�cil
terminar a demonstra��o.
Se H e K s�o subrgrupos normais de G tais que H inter K = {e},
ent�o hk = kh para todo h,k em H e K,
respectivamente.
Basta
ver que
hkh^(-1)k^(-1) =
e, pois
hkh^(-1) est� em
K e portanto o lado esquerdo acima est� em K.
Da mesma forma
kh^(-1)k^(-1) est� em H e, portanto, o lado esquerdo acima tamb�m est� em H,
concluindo que ele deve ser igual a identidade.
Como H e K podem ser quaisquer daqueles n+1
subgrupos de ordem n do enunciado e como eles cobrem todo G, temos,
finalmente, que G � abeliano.
Oi, Pedro:
Voce
demonstrou que se h e k pertencem a subgrupos distintos de G, entao eles
comutam. Mas e quando h e k pertencerem a um mesmo subgrupo de G?
De
qualquer jeito, acho que a chave foi realmente perceber que os subgrupos sao
normais. Depois eh soh acertar os detalhes...mas eles precisam ser
acertados!
� verdade, faltou o final da demonstra��o. E
esse final parece tamb�m interessante.
Se n=2 ou 3, ent�o qualquer um daqueles
subgrupos � abeliano e acabou. Consideramos n>=4. Ent�o h� pelo menos 5
subgrupos distintos.
Se h1 e h2 <> e est�o em H, ent�o
escolhemos K,V, M e N outros 4 subgrupos (conforme o enunciado)
distintos de H.
Ent�o h1 = kv e h2 = mn (onde k,v,m e
n <> e est�o em K,V,M,N respectivamente, e esse elementos
comutam, como vimos antes). Temos ent�o:
h1h2 = kvmn = vkmn = ...... = mnkv =
h2h1
o completa a demonstra��o. Acho
que agora n�o falte nenhum detalhe.
Um abra�o. Pedro.