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Caro Cl�udio,
Acho que encontrei uma solu��o para aquele problema
do grupo abeliano.
Conforme o enunciado existem n+1 subgrupos de ordem
n tais que se H e K forem quaisquer dois deles, vale:
H inter K = {e}
Por uma conta direta usando cardinalidade, que
algu�m j� tinha feito, sab�amos que
G = HK = KH
Vamos mostrar agora que qualquer subgrupo
H daqueles do enunciado � normal em G.
Seja h <> e um elemento de H
e g <> e elemento qualquer de G.
Supomos que
ghg^(-1) = k onde k est� em algum
daqueles subgrupos K do enunciado que seja diferente de H
Mas sabemos que g = k1h1 para k1 e h1 em K e H,
respectivamente.
Ent�o temos
k1h1hh1^(-1)k1^(-1) = k
Logo
h1hh1^(-1) = k1^(-1)kk1
O lado esquerdo est� em H e o direito em
K
Logo devem ser iguais a e.
Concluimos que
h = k = e
o que � uma contradi��o.
Da� decorre que
ghg^(-1) n�o pode estar fora de H e, portanto, H �
normal.
Como isso vale para qualquer H,
temos que H, K e todos os outros subgrupos do
enunciado s�o normais em G.
Agora fica f�cil terminar a
demonstra��o.
Se H e K s�o subrgrupos normais de G tais
que H inter K = {e}, ent�o hk = kh para todo h,k em H e K,
respectivamente.
Basta ver que
hkh^(-1)k^(-1) = e, pois
hkh^(-1) est� em K e portanto o lado esquerdo acima
est� em K.
Da mesma forma kh^(-1)k^(-1) est� em H e, portanto,
o lado esquerdo acima tamb�m est� em H, concluindo que ele deve ser igual
a identidade.
Como H e K podem ser quaisquer daqueles n+1
subgrupos de ordem n do enunciado e como eles cobrem todo G, temos, finalmente,
que G � abeliano.
Achei no come�o que precisava usar algum teorema de
a��o ou algum daqueles teoremas de Sylow, mas no final, s� id�ias elementares
foram necess�rias.
Um abra�o. Pedro.
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