Re: [obm-l] equa��o diofantina

[Carlos Ma�aranduba <soh_lamento@xxxxxxxxxxxx>]

Olhe a equa�ao possui solu�ao para x, y e K inteiros
se somente se MDC(a, b) dividir K.Vamos provar:


SE x, y e K inteiros => MDC(a,b) divide K.
Seja d = mdc(a,b) .Pegando ax+by = k e dividindo por d
em ambos os membros => (ax+by)/d = k/d.Observe o
primeiro membro.Como d � mdc de a e b ,ele divide ax
+by porque ele divide a e b ao mesmo tempo.Essa
divisao resulta num numero inteiro e como x e y sao
inteiros entao (ax + by) /d � um numero inteiro.Mas
(ax + by) /d � igual a k/d entao k/d deve ser um
numero inteiro.Entao para que isso ocorra d divide k,
portanto SE x, y e K inteiros => MDC(a,b) divide K. 

Provar a reciproca agora:
Se MDC(a,b) divide K => x, y e K inteiros.

Por bezout, Se MDC(a,b) = d => d = aw + bt, w e t
inteiros.Mas como d divide k => k = d*f , f inteiro.
Pegando d = aw + bt e multiplicando ambos os membros
por f => d*f = a*(w*f) + b*(t*f), mas d*f =k =>
k = a*(w*f) + b*(t*f) = ax +by => x=(w*f) e y = (t*f)
e como t, w e f sao inteiros => x e y sao
inteiros.Como k = ax +by e a,b,x,y � inteiro => k �
inteiro.
CQ:D1 

Observando sua equa�ao como mdc(a,b) = 1 e x,y e K
inteiros ,mdc(a,b) divide K, pois mdc(a,b) =1.
Portanto, pelo que eu provei acima, como mdc(a,b) =1
=> ax +by = k tem solu�ao para qualquer k inteiro
escolhido porque sempre 1 divide k. 
CQ:D2


Para saber as solu�oes, ai ja � outra historia.



--- luiz fran�a <felipenobili@yahoo.com> escreveu: > 
> 
>  se  (a,b)=1 
> 
>  ax +by = k  , x, y e k inteiros
>  
>  porvar que sempre existe uma soluma solu��o x,y
> que satisfa�a a equa��o para qualquer k escolhido.
> 
> ser� mesmo verdade?  bom... a principio se
>  
> ax +by = 1 tiver solu��o, ent�o ter� pra qualquer K.
> pois basta pegarmos Kx e Ky. Mas como provar que
> vale
> pra k=1 ???
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