Re: [obm-l] Sequencias de Cauchy

["Artur Costa Steiner" <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Veja a definicao: (x_n) eh uma sequencia de Cauchy se, para todo eps >0
arbitrariamente escolhido, existir um natural k tal d(x_m, x_n)<eps para
TODOS m,n>=k. Logo, k tem que depender exclusivamente de eps. Nao podemos
assumir uma relacao entre m e n.
No exemplo que vc deu, o que vc efetivamente fez foi o seguinte: Como
d(x_n+1,xn) -> 0, para todo eps>o podemos encontrar um k tal que
d(x_n+1,x_n)<eps para todo n>=k. Se m>n, podemos entao encontrar k tal que
d(x_n+1,x_n)<eps/(m-n) para n>=k, condicao que, pela desigualdade
triangular, implica de fato que que d(x_m,x_n)<eps para todos n,m>=k MAS
tais que m-n seja CONSTANTE. Voce implicitamente assumiu uma relacao entre m
e n, isto eh, estabeleceu que m=n+C, sendo C uma constante. Porque isto nao
atende aa condicao de Cauchy? Porque o k que funciona para uma dada
constante C1 pode nao funcionar para uma outra constante C2, isto eh o k
depende de uma relacao estabelecida entre m e n.
Sugestao: Analise a sequencia L(n). Ela atende aa condicao que vc deu.
Verifique, com base no que vimos, que esta NAO eh uma sequencia de Cauchy.
De fato, esta sequencia vais para o infinito.
Artur

> Gostaria que algu�m esclarecesse a segunite d�vida.
>
> Seja (X,d) um espa�o m�trico e x_n uma seq��ncia satisfazendo
> d( x_(n+1), x_n ) -> 0.
> Sejam m e n inteiros positivos diferentes... spg, m > n
>
> -> x_m - x_n = x_m - x_(m-1) + x_(m-1) - x_(m-2) + x_(m-2) - ....
> + x_(n+1) - x(n)
>
> Usando a desigualdade triangular...
>
> -> 0 <= d( x_m, x_n ) <= d( x_m, x_(m-1)) + d( x_(m-1), x_(m-2)) + ....
> + d( x_(n+1) , x(n) )
>
> Por que n�o posso concluir que x_n � Cauchy se cada termo do lado
> direito fica arbitrariamente pequeno ? Se fosse o caso da implica��o ser
> verdadeira, ter�amos que a s�rie harm�nica seria convergente, mas n�o
> estou conseguindo entender onde est� a falha no racioc�nio...
>
> Obrigado,
> Felipe Pina
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> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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