Re: [obm-l] Quest�o de Geometria

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 09.08.03 18:20, Eduardo Casagrande Stabel at dudasta@terra.com.br wrote:

> Ol� a todos!
> 
> Considere um quadrado ABCD de lado unit�rio. Trace quatro circunfer�ncias de
> raios unit�rios centradas em A, B, C e D. No centro do quadrado, forma-se
> uma regi�o limitada pelos quatro c�rculos. A pergunta que fa�o �: como
> calcular a �rea dessa figura?
> 
> Um modo de fazer � encontrar fun��es cujos gr�ficos sejam a borda das
> circunfer�ncias e uttilizando-se uma integral calcular a �rea compreendida
> entre as curvas. Deste modo, eu chegei � �rea Pi/3 + 1 - sqrt(3). Eu
> gostaria de saber se existe uma solu��o usando somente dos recursos da
> geometria euclidiana, sem usar integrais.
> 
> Abra�o aos que leram!
> Duda.
> 
Oi, Duda:

Acho que consegui.

Sejam P, Q, R, S os vertices da figura cuja area procuramos, onde P eh o
ponto mais proximo do lado AB, Q de BC, R de CD e S de DA.

A distancia de P ao lado CD eh raiz(3)/2, pois o triangulo PCD eh
equilatero.

Logo, P estah a uma distancia de (raiz(3)-1)/2 do centro O do quadrado, ou
seja, OP = OS = (raiz(3)-1)/2.
O mesmo vale para Q, R e S.

O triangulo POS eh retangulo isosceles ==> PS mede (raiz(3)-1)/raiz(2).

Quanto mede o angulo PCS? Lei dos cossenos em PCS ==>
PS^2 = CP^2 + CS^2 - 2*CP*CS*cos(PCS) ==>
2 - raiz(3) = 1 + 1 - 2*1*1*cos(PCS) ==>
cos(PCS) = raiz(3)/2 ==>
PCS = Pi/6 ==>
A lunula PS (igual a diferenca entre o setor circular PCS e o triangulo PCS)
tem area igual a (1/2)*CP*CS*(Pi/6 - sen(Pi/6)) = (1/2)*1*1*(Pi/6 - 1/2) =
Pi/12 - 1/4.

O triangulo POS tem area igual a (1/2)*OP*OS = (1/2)*((raiz(3)-1)/2)^2 =
1/2 - raiz(3)/4.

Mas a area desejada eh igual a 4*(area(POS) + area(PS)) =
= 4*(1/2 - raiz(3)/4 + Pi/12 - 1/4) =
= Pi/3 + 1 - raiz(3), como voce tinha dito.


Um abraco,
Claudio. 
  

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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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