[obm-l] Re: [obm-l] Artif�cio em Trigonometria

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Fri, Jul 25, 2003 at 10:29:35PM -0300, Nelson wrote:
> Ol� a todos, Ano passado um colega de cursinho me mostrou um artif�cio que,
> atrav�s dele, conseguia-se todas as f�rmulas trigonom�tricas, ou quase todas.
> Mas eu n�o me lembro. Algu�m conhece tal artif�cil? Lembro-me que ele
> utilizou uma circunfer�ncia dividida em v�rias partes.

N�o deve ser o que voc� tem em mente, mas as express�es

sen(t) = (e^(it) - e^(-it))/(2i)
cos(t) = (e^(it) + e^(-it))/2

reduzem todas as f�rmulas de trigonometria a um pouco de �lgebra.

Por exemplo, para provar que

sen(a+b) = sen a cos b + sen b cos a

expandimos o lado esquerdo e direito:

sen(a+b) = (e^(i(a+b)) - e^(i(-a-b)))/2i
sen a cos b + sen b cos a =
= ((e^(ia) - e^(-ia))(e^(ib) + e^(-ib)) + (e^(ib) - e^(-ib))(e^(ia) + e^(-ia)))/(4i)
= (e^(i(a+b)) + e^(i(a-b)) - e^(i(-a+b)) - e^(i(-a-b)) + e^(i(a+b)) + e^(i(-a+b)) - e^(i(a-b)) - e^(i(-a-b)))/(4i)

o que, juntando os termos, nos d� o lado esquerdo.

[]s, N.
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