Re: [obm-l] Problema de matrizes

[Alexandre Daibert <alexandredaibert2@xxxxxxxxx>]

Hehehe, vou ser sincero, naum entendi tudo, mas deu pra entender 
bastante coisa sim, vou dar mais uma relida pra ver se entendo tudo, 
hehehehe. Valeu a�!

Quero s� deixar apara o pessoal da lista a resolu��o q eu tinha 
comentado por sistemas lineares homog�neos, q eu lembrei aki:

sendo BX=(0), um sistema linear homog�neo (B � matriz quadrada nxn, X 
matriz coluna n)
temos q o sistema ser� poss�vel determinado se e somente se X = (0) 
(matriz coluna todos os elementos iguais a zero) o que implica q det B � 
diferente de zero (pois o sistema � determinado)
resumindo:
X = (0)  =>  det B dif. de 0
fazendo B = (A + I) temos
(A + I)X = (0)
AX + X = (0)

AX = -X              ....(1)

A^2*X = -AX
de (1):
A^2*X = X
A^3X = AX
kAX = -X
-kX = -X
(k-1)X=(0)
como k diferente de 1
X = (0)
(logo a matriz A + I � invers�vel)

algu�m teria alguma id�ia de pegar algo desta solu��o aki para o nosso 
problema?? tentei fazer algo, mas n�o cheguei em nada...

Valeus a�!!!


Eduardo Casagrande Stabel escreveu:

>Oi Daibert,
>
>Minha solu��o � muit�ssimo avan�ada, precisar�s de anos de estudos para
>compreend�-la... mas se voc� tentar, quem sabe consiga ainda hoje.
>
>Eu estou usando algumas propriedades bem simples sobre matrizes. Por
>exemplo, se A � uma matriz quadrada e suas colunas (vetores com n
>coordenadas) s�o A = [c_1 c_2 ... c_n] ent�o a matriz � invers�vel (isto �,
>existe uma outra matriz B tal que AB = matriz identidade) se e somente se
>podemos encontrar constantes reais (nem todas nulas) v_1, v_2, ..., v_n tais
>que v_1*c_1 + ... + v_n*c_n � o vetor nulo. Esta express�o pode ser
>reescrita como Av = vetor nulo, onde v � a matriz coluna 1 por n com
>coordenadas v_1, v_2, ..., v_n. Fora esta propriedade, s� uso fatos muito
>simples que certamente se ensinam no segundo grau.
>
>Primeiro, suponho por absurdo que existe um vetor n�o-nulo (pense como uma
>matriz 1 por n) v tal que
>
>(A + I)*v = 0 (este zero sendo a matriz 1 por n com zeros em suas
>coordenadas)
>
>Ou seja, estou supondo (pelo que discuti no primeiro par�grafo) que a matriz
>n�o � invers�vel. Pretendo chegar a uma contradi��o para concluir que esta
>hip�tese � furada e portanto A + I deve ser invers�vel. (esta t�cnica de
>demonstra��o � conhecida como redu��o ao absurdo e � muito freq�ente em
>matem�tica). Multiplicamos as matrizes (esta � a propriedade distribuitiva,
>que voc� deve conhecer)
>
>A*v + I*v = 0
>
>A matriz I mant�m qualquer matriz, ou seja
>
>A*v + v = 0, da�
>A*v = - v
>
>N�s sabemos, da hip�tese, que A^3 = k*A onde k � um n�mero real diferente de
>1. Isto � uma igualdade de matrizes. Se esta igualdade vale, podemos
>multiplicar os dois lados por uma matriz e a igualdade continar� valendo
>(concordas?). Multiplique ent�o pela nossa matriz (ou vetor) v. Deve valer:
>
>A^3*v = k*A*v                (1)
>
>Vamos trabalhar com essas duas express�es. A primeira � o produto de quatro
>matrizes, a saber, A*A*A*v. Como o produto de matrizes � associativo (=tanto
>faz a ordem da multiplica��o) podemos associ�-las assim
>
>A*( A* (A*v) )
>
>A express�o bem de dentro n�s j� calculamos. Da� a express�o fica
>
>A*(A * (-v) ) = - A*( A*v )
>
>Novamente a express�o do meio j� foi calculada, da� ela fica
>
>- A * ( A*v ) = - A * ( -v ) = A * v = - v
>
>Ou seja
>
>A^3*v = - v
>
>Por outro lado
>
>k*A*v = k * (A*v) = k*( - v) = - k*v
>
>Da� igualando as express�es em (1)
>
>- v = - k * v
>v = k * v
>
>Pense nesta express�o. Temos a matriz v � esquerda e a mesma matriz v �
>direita, s� que com todos suas coordenadas multiplicadas por k. Para valer
>essa express�o ou a matriz (vetor) v � cheio de zeros (o que contraria o que
>dissemos de v l� no come�o) ou ent�o o numero real k � igual a 1 (o que
>contraria o enunciado). Conclus�o: n�o pode valer a hip�tese de que A + I �
>n�o invers�vel, pois ela nos conduz a uma contradi��o.
>
>Espero que agora voc� j� tenha penetrado no c�lculo vetorial superior. ;)
>
>Abra��o!
>Duda.
>
>
>
>
>
>From: "Alexandre Daibert" <alexandredaibert2@ig.com.br>
>  
>
>>Ih, desculpa a� mas eu sou soh vestibulando do ITA, ainda naum cheguei
>>nessa parte de c�lculo vetorial de curso superior
>>:-P
>>mas valeu mesmo assim
>>
>>Alexandre Daibert
>>
>>
>>Eduardo Casagrande Stabel escreveu:
>>
>>    
>>
>>>Oi Alexandre.
>>>
>>>Vou resolver com a mesma id�ia que resolvi o outro.
>>>
>>>Assuma que A � uma matriz quadrada que satisfaz A^3 = kA onde k <> 1.
>>>      
>>>
>Agora
>  
>
>>>suponha, por hip�tese de absurdo, que A + I n�o � uma matriz invers�vel.
>>>Portanto deve existir um vetor n�o-nulo real v tal que (A + I)v = 0, da�
>>>      
>>>
>Av
>  
>
>>>= -v. Vamos ent�o calcular A^3v e kAv e compar�-los. Temos A^3v =
>>>A^2(-v)=Av=-v. E temos kAv = -kv. Sabemos que A^3 = kA, o que implica
>>>      
>>>
>A^3u =
>  
>
>>>kAu para todo vetor u, em particular para o nosso amigo v. Portanto A^3v
>>>= -v = -kv = kAv. Ora se vale v = kv, uma das duas coisas tem de ser
>>>verdade: (1) k tem de valer 1, o que contraria a hip�tese do enunciado;
>>>      
>>>
>(2)
>  
>
>>>v tem de ser nulo, o que contraria nossa hip�tese de que v � n�o-nulo.
>>>Conclus�o: A + I tem de ser invers�vel.
>>>
>>>Abra�o,
>>>Duda.
>>>
>>>From: "Alexandre Daibert" <alexandredaibert2@ig.com.br>
>>>
>>>
>>>      
>>>
>>>>F�bio,
>>>>Olha, eu n�o sou o Morgado n�o, mas vou te dar a opini�o minha sobre a
>>>>pergunta 3. Eu estou tentando vestibular para o ITA pela segunda vez e
>>>>acho q esta resolu��o tah meio dif�cil comparando com a imensa maioria
>>>>das quest�es do ITA pelo menos (pra falar verdade eu naum entendi
>>>>direito, hehehe).
>>>>:)
>>>>
>>>>Lembram daquela quet�o do IME do ano passado, a n�mero 10? deixa eu soh
>>>>por o enunciado dela aki:
>>>>"Considere uma matriz A, n x n, de coeficientes reais, e k um n�mero
>>>>real diferente de 1. Sabendo-se que A^3=kA, prove que a matriz A+I �
>>>>invert�vel, onde I � a matriz identidade n x n"
>>>>Eu lembro de ter visto uma solu��o deste problema por sistemas lineares
>>>>homog�neos. Algu�m tem alguma solu��o deste problema do IME por este
>>>>caminho?? talvez ajudasse em algo...
>>>>
>>>>
>>>>
>>>>
>>>>F�bio Dias Moreira escreveu:
>>>>
>>>>
>>>>
>>>>        
>>>>
>>>>>---------- Cabe�alho inicial  -----------
>>>>>
>>>>>De: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br
>>>>>Para: obm-l@mat.puc-rio.br
>>>>>C�pia:
>>>>>Data: Mon, 21 Jul 2003 19:16:47 -0300 (EST)
>>>>>Assunto: Re: [obm-l] Problema de matrizes
>>>>>
>>>>>
>>>>>
>>>>>
>>>>>
>>>>>          
>>>>>
>>>>>>Nao eh dificil dar uma solu�ao usando autovalores. Veja a solu�ao
>>>>>>
>>>>>>
>>>>>>            
>>>>>>
>>>enviada pelo Stabel, que eh otima, e que consegue usar autovalores de
>>>      
>>>
>forma
>  
>
>>>compreensivel a (bons) alunos do ensino medio. Mas, sei la, continuo
>>>desconfiado que deve haver uma solu�ao que nao va alem de determinantes e
>>>sistemas de equa�oes lineares. Algo que provasse diretamente que A
>>>anti-simetrica real implicaria det(A+I) diferente de 0.
>>>
>>>
>>>      
>>>
>>>>>>[...]
>>>>>>
>>>>>>
>>>>>>
>>>>>>
>>>>>>            
>>>>>>
>>>>>Eu acho que tenho uma solu��o elementar parcial para o problema:
>>>>>
>>>>>Seja nxn o tamanho da matriz A. Seja P o conjunto das permuta��es de
>>>>>
>>>>>
>>>>>          
>>>>>
>>>comprimento n). Seja p uma permuta��o de P. Se p n�o for uma involu��o,
>>>      
>>>
>tome
>  
>
>>>sua inversa q. Olhe para os termos associados a p e q no determinante da
>>>matriz A+I. Como pq = i, onde i � a identidade de P, p e q t�m a mesma
>>>paridade, logo os termos associados t�m, a priori, o mesmo sinal. Mas se
>>>      
>>>
>x
>  
>
>>>aparece num dos termos, ent�o -x aparece no termo oposto; logo um dos
>>>      
>>>
>termos
>  
>
>>>� (-1)^k o outro, onde k � o n�mero de pontos n�o-fixos, i.e. x tais que
>>>p(x) != x.
>>>
>>>
>>>      
>>>
>>>>>Caso pp = i, eu afirmo que o termo associado � certamente n�o-negativo.
>>>>>
>>>>>
>>>>>          
>>>>>
>>>Note que ent�o que os ciclos de p t�m comprimento no m�ximo 2. Logo o
>>>      
>>>
>termo
>  
>
>>>pode ser constru�do do termo associado � identidade (que vale 1) se
>>>      
>>>
>fizermos
>  
>
>>>invers�es disjuntas. Cada invers�o troca um 1*1 por um -x*x = -x^2, mas
>>>tamb�m multiplica por -1 por causa da invers�o da paridade. Logo o termo
>>>      
>>>
>�
>  
>
>>>multiplicado por x^2, certamente n�o-negativos.
>>>
>>>
>>>      
>>>
>>>>>Se uma permuta��o p n�o-involutiva tem um n�mero �mpar de pontos
>>>>>
>>>>>
>>>>>          
>>>>>
>>>n�o-fixos, ent�o sua inversa q gera um termo que � igual em m�dulo ao
>>>      
>>>
>termo
>  
>
>>>gerado por p, mas tem sinal oposto, logo os dois termos se cancelam.
>>>      
>>>
>Agora
>  
>
>>>considere todas as permuta��es com k pontos n�o fixos, k par. Ent�o os
>>>termos gerados por essas permuta��es s�o da forma 2*(-1)^m*P, onde m � 0
>>>      
>>>
>ou
>  
>
>>>1 e P � um produt�rio de um n�me
>>>
>>>
>>>      
>>>
>>>>>s associados � permuta��o que n�o s�o 1 e que est�o na metade superior
>>>>>          
>>>>>
>da
>  
>
>>>>>          
>>>>>
>>>matriz -- escolher os termos daqui � sempre poss�vel se mexermos no m
>>>apropriadamente).
>>>
>>>
>>>      
>>>
>>>>>Eu acho que n�o sei passsar muito daqui. A minha id�ia era agrupar
>>>>>          
>>>>>
>esses
>  
>
>>>>>          
>>>>>
>>>�ltimos termos com os termos quadrados perfeitos de mesmo grau para
>>>      
>>>
>formar
>  
>
>>>novos quadrados perfeitos maiores, assim retirando os termos que podem
>>>      
>>>
>ser
>  
>
>>>negativos de circula��o.
>>>
>>>
>>>      
>>>
>>>>>Pergunta 1: � sempre poss�vel agrupar os termos dessa forma?
>>>>>
>>>>>Pergunta 2: m depende s� de k (ou melhor ainda, n�o depende de nada)?
>>>>>          
>>>>>
>Se
>  
>
>>>>>          
>>>>>
>>>sim, a resposta � pergunta 1 parece ser bem mais f�cil.
>>>
>>>
>>>      
>>>
>>>>>Pergunta 3 (ao Morgado): Na sua opini�o, isso est� no n�vel do ITA?
>>>>>
>>>>>Se eu tiver alguma id�ia interessante sobre as perguntas 1 e 2, eu
>>>>>          
>>>>>
>mando
>  
>
>>>>>          
>>>>>
>>>para a lista.
>>>
>>>
>>>      
>>>
>>>>>[]s,
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>>>>>
>>>>>
>>>>>
>>>>>
>>>>>          
>>>>>
>>>=========================================================================
>>>      
>>>
>>>>Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>>>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>>>>        
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>>>Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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>>Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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