Voc� se impressionaria com o n�mero de vezes que esse assunto j� surgiu na lista. Eu particularmente fiquei muito impressionado isso quando vi pela primeira vez (bons tempos de inoc�ncia...).
A� vai algo que talvez ajude um pouco (ou talvez n�o). Provavelmente deve haver muita besteira e imprecis�es no meio mas o pessoal concerta.
Desculpem se o n�vel de bobagens e erros passar do aceit�vel.
[]�s
Em |R est�o definidas duas opera��es, (+) adi��o e (*) multiplica��o, e uma rela��o (<=) menor igual. Admitimos aqui tamb�m q o conjunto |R, munido das duas opera��es e da rela��o citada anteriormente (|R,+,*,<=) satisfaz as seguintes propriedades:
A1 - se x E |R e y E |R ent�o x+y E |R
A2 - (x+y)+z=x+(y+z)
A3 - x+y=y+x
A4 - x+0=x
A5 - para todo x E |R existe um y E |R tal que x+y=0, a esse y indica-se por -x: x+(-x)=0
M1 - se x E |R e y E |R ent�o x*y E |R
M2 - (x*y)*z=x*(y*z);
M3 - x*y=y*x;
M4 - x*1=x;
M5 - para todo x E |R e #0 existe um y E |R tal que x*y=x, a esse y indica-se por 1/x: x*(1/x)
AM - x*(y+z)=x*y+x*z
Um conjunto que satisfaz a essas propriedades � um Corpo
O1 - se x<=y e y<=x ent�o x=y
O2 - se x<=y e y<=z ent�o x<=z
O3 - x<=y ou y<=x
O5 - se x<=y e 0<=z entao x+z<=y+z
O6 - se x<=y e 0<=z ent�o x*z<=y*z
Um conjunto que satisfaz
a essas propriedades e �s anteriores � um Corpo Ordenado, portanto o conjunto (|R,+,*,<=) � um Corpo Ordenado
Agora definiremos alguns conceitos q diferenciam |R de |Q (Conjunto dos Racionais)
Seja S um conjunto n�o vazio de n�meros Reais.
Se em S existe um n�mero t :s< t,Vs E S ent�o chamamos t de max S;
Se em S existe um n�mero t :< s,Vs E S ent�o chamamos t de min S;
A todo n�mero Real r|max S <= r chamamos de Fronteira Superior de S;
A todo n�mero Real r|r <= min S chamamos de Fronteira Inferior de S
Exemplo:
S={4,5,6,7,8}
a)4=min S;
b)8=max S;
c)3,2,0,-1... s�o Fronteiras Inferiores de S; d)9,100,23,11... s�o Fronteiras Superiores de S.
S={xE|R |4<=x<8}
a)4=min S;
b> n�o existe max S;
c)3,2,0,-1... todo n�mero <=4 � Fronteira Inferior de S;
d)8,9,100,23,11... todo n�mero t, 8<=t � Fronteira Superior de S.
Nesse �ltimo exemplo vemos que S n�o admite max mas admite uma menor
Fronteira Superior. A essa menor Fronteira Superior chamamos de supremum de S, sup S. An�logamente existem conjuntos que n�o admitem min mas admitem uma maior Fronteira Inferior, a essa maior Fronteira chamamos de infimum, inf S.
Enunciaremos a seguir como uma propriedade que na verdade pode ser demonstrada (� um teorema).
A Propriedade do Supremo
"Todo conjunto de n�meros Reais que possui uma Fronteira Superior possui tamb�m um supremum." An�logamente todo conjunto de n�meros Reais que possui uma Fronteira Inferior possui tamb�m um infimum.
Pode-se mostrar tamb�m que o supremum e o infimum s�o �nicos pela propriedade dos intervalos encaixantes. Agora podemos aproximarmo-nos da quest�o: 0,999=1 ? Vejamos o seguinte conjunto:
S={xE|R : 0<=x<=1}1=sup S. Se admitimos 0,999... como sendo diferente de 1 temos que que todo n�mero s E S deve ser <=0,999... e ent�o 0,999...=sup S. O que � uma contradi��o, pois o supremum de um conjunto � �nico. Portanto devemos concluir que 0,999...=1.
Acho que o argumento � v�lido pela no��o de 0,999... que se tem como n�mero, n�o como s�mbolo.
----- Original Message -----
Sent: Thursday, July 10, 2003 2:49 PM
Subject: [obm-l] 0,999... = 1
> -----BEGIN PGP SIGNED MESSAGE-----
> Hash: SHA1
>
> Talvez voc�s j� tenham visto essa antes, eu sozinho n�o consegui
> descobrir...
>
> Prova 1:
> 1/3 = 0,333...
> Multiplicando por 3 os dois membros dessa igualdade, obtemos:
> 1 = 0,999...
>
> Prova 2:
> x = 0,999
> Multiplicando por 10 os dois membros dessa igualdade, obtemos:
> 10x = 9,999.. = 9 + 0,999.. = 9 + x
> Logo, x = 1.
>
> Prova 3:
> 0,999... = 0,9 + 0,09 + 0,009 + ...
> Como o segundo membro dessa igualdade � uma PG de raz�o 1/10, o limite da
> soma � dado por S = a1/(1 - q).
> Logo, S = 0,9/(1 - 0,1) = 0,9/0,9 = 1
> Portanto 0,999... = 1
>
>
> Victor Luiz Salgado de Lima.
>
> - ----
> Spam sux.
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> Version:
GnuPG v1.2.1 (MingW32) - GPGOE 0.4.1
>
> iD8DBQE/DaccpBwZ7xrHmVsRAi9gAJ46+Fndb6iLkJV4d8/V01SOYKtCWACdGWle
> ZMkVfgVDFyAJ7bMZGYMvsZk=
> =OFa4
> -----END PGP SIGNATURE-----
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> Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html> =========================================================================