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[obm-l] Re: [obm-l] tan(3*Pi/11) + 4*sin(2*Pi/11) = sqrt(11)
Que tal tentar obte-la na ra�a?Tentar mesmo,desenhar e ver...
-- Mensagem original --
>Caros colegas da lista:
>
>Curiosamente, tamb�m vale a identidade:
>
>tan(4*Pi/11) + 4*sen(Pi/11) = raiz(11)
>
>A demonstra��o que eu vi tamb�m usa complexos, exatamente como a do Nicolau.
>Ela est� em: http://www.nrich.maths.org.uk/askedNRICH/edited/56.html
>
>Por acaso algu�m conseguiu uma solu��o do tipo que o Morgado falou - via
>uma
>constru��o geom�trica?
>
>Um abra�o,
>Claudio.
>
>----- Original Message -----
>From: "Nicolau C. Saldanha" <nicolau@sucuri.mat.puc-rio.br>
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Sent: Thursday, March 06, 2003 12:06 PM
>Subject: Re: [obm-l] Problemas em aberto IV
>
>
>> On Sun, Mar 02, 2003 at 11:12:21AM -0300, A. C. Morgado wrote:
>> > O Lu�s Lopes mandou ha algum tempo:
>> > Prove que
>> > tan(3*Pi/11) + 4*sin(2*Pi/11) = sqrt(11).
>> >
>> > Embora eu tenha uma ideia muito clara do que fazer (usar trigonometria
>> > do tempo dos gregos, isto eh, construir um conveniente quadrilatero
>> > inscrito e aplicar o teorema de Ptolomeu), quando tentei nao consegui.
>>
>> Eu fiz algo bem diferente; usei �lgebra e maple:
>>
>>
>> > pp := ((z^3 - z^(-3)) + 2*(z^2 - z^(-2\
>> > ))*(z^3 + z^(-3)))^2 + 11*(z^3 + z^(-3))^2;
>> / 3 1 / 2 1 \ / 3 1 \\2 / 3 1
\2
>> pp := |z - ---- + 2 |z - ----| |z + ----|| + 11 |z + ----|
>> | 3 | 2 | | 3 || | 3
|
>> \ z \ z / \ z // \ z
/
>>
>> > p1 := expand(pp);
>> 2 4 4 4 8 6 4 10
4
>4
>> p1 := 4 + 4 z + ---- + 4 z + ---- + 4 z + 4 z + ---- + 4 z + ----
>+ ---
>> 2 4 6
8
>10
>> z z z
z
>z
>>
>> > p2 := expand(z^10 * p1);
>> 10 12 8 14 6 18 16 4
20
>> p2 := 4 z + 4 z + 4 z + 4 z + 4 z + 4 z + 4 z + 4 z + 4
z
>>
>> 2
>> + 4 z + 4
>>
>> > factor(p2);
>> 5 6 4 7 3 9 8 2 10
>> 4 (z + z + z + z + z + z + z + z + z + z + 1)
>>
>> 10 9 8 7 6 5 4 3 2
>> (z - z + z - z + z - z + z - z + z - z + 1)
>>
>> A id�ia � que z = exp(Pi*i/11).
>> Temos tan(3*Pi/11) = -i (z^3 - z^(-3))/(z^3 + z^(-3)),
>> sin(2*Pi/11) = -i/2 * (z^2 - z^(-2)) donde ap�s pequenas
>> simplifica��es queremos verificar que pp acima vale 0.
>> Expandimos, fatoramos e descobrimos que pp � m�ltiplo de
>> z^10 - z^9 + z^8 - ... - z + 1. Ora, este polin�mio de fator
>> tem exp(Pi*i/11) por raiz.
>>
>> Observe que as contas n�o s�o t�o pesadas assim,
>> daria para fazer na m�o.
>>
>> Claro que o Lu�s Lopes e o Morgado podem achar que uma solu��o
>> geom�trica seria mais elegante...
>>
>> []s, N.
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>> Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>> O administrador desta lista � <nicolau@mat.puc-rio.br>
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