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Caros colegas da lista:
Muitas vezes um problema � proposto na lista,
nenhuma solu��o � dada nos dias seguintes e logo o problema cai no esquecimento.
Assim, resolvi fazer uma compila��o (temo que incompleta) daqueles
problemas da lista que ficaram sem solu��o.
1. Seja
A = | A1 |
| A2 |
uma matriz m x n com A1 n x n n�o singular e A2 uma
matriz (m-n) x n arbitr�ria
A+ � a pseudo-inversa de A, definida como
A+ = (A' * A)^(-1) * A' prove que ||A+|| <= ||(A1)^(-1)||
OBS: A norma aqui � induzida:
||A|| = sup ||Ax||
||x|| = 1
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2. � poss�vel que um polin�mio de coeficientes
inteiros P(X) irredut�vel se fatore em Z/(n) para todo n natural
?
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3. A e B s�o cantos opostos de um tabuleiro n x n,
dividido em n^2
quadradinhos por linhas paralelas a seus lados. Em cada quadradinho � tra�ada sua diagonal paralela a AB, tal que o tabuleiro fica dividido em 2n^2 tri�ngulinhos. O tabuleiro tem (n + 1)^2 pontos que s�o v�rtices dos quadrinhos e um qrande n�mero de segmentos, cada qual medindo 1 ou sqrt2. Uma pe�a move-se de A at� B atrav�s dos segmentos. Ela nunca passa duas vezes pelo mesmo segmento e seu caminho inclui exatamente dois lados de cada tri�ngulinho. Para qual n isto � poss�vel? *********
4.
A) As medidas dos �ngulos agudos de um
tri�ngulo pitag�rico (tri�ngulo ret�ngulo cujos lados t�m medida inteira) n�o
s�o inteiras (quando expressos em graus).
B) Se os lados de um tri�ngulo t�m medida inteira e
um de seus �ngulos tem medida inteira, ent�o esse �ngulo mede 60, 90 ou 120
graus.
C) Se um tri�ngulo tem os tr�s lados e os tr�s
�ngulos com medida inteira ent�o ele � equil�tero.
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5. Nos festejos juninos, 20 casais de dan�arinos
s�o colocados em c�rculo de tal maneira que um homem e uma mulher formando um
par est�o situados diametralmente opostos. Durante a dan�a, dois dan�arinos
adjacentes trocam de lugar enquanto todos os outros permanecem na mesma posi��o.
Essa mudan�a � repetida com pares adjacentes at� que, na posi��o final, os dois
dan�arinos de cada par estejam novamente diametralmente opostos, mas na posi��o
contr�ria da inicial. Ent�o o n�mero m�nimo de mudan�as, de dois dan�arinos
adjacentes, para acontecer isso �:
(a) 20! (b) 400 (c) 10! (d)
19! (e) 20
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6. D� um exemplo de uma sequ�ncia (Xn) de n�meros
reais tal que:
lim ( Xn / n^t ) = 0 para todo t >
0
e
lim ( [log(n)]^k / Xn ) = 0 para todo k >
0 ********* 7. Um tri�ngulo tem lados com medida inteira e �rea
racional. Prove que uma de suas alturas tem medida inteira e que o p� desta
altura est� a uma dist�ncia inteira dos v�rtices do tri�ngulo.
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8. Um pol�gono convexo possui 2n lados.
Prove que o pol�gono cont�m no m�nimo n diagonais que n�o
s�o paralelas a qualquer de seus lados.
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9. Seja K um inteiro >= 2.
infinito
Seja S = SOMAT�RIO 1 / K^(n^2) =
1/K + 1/K^4 + 1/K^9 + 1/K^16 + ...
n
= 1
Prove que S � irracional.
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10. Um m�gico tem cem cart�es numerados de 1 a
100.
Coloca-os em tr�s caixas, uma vermelha, uma branca e uma azul, de modo que cada caixa cont�m pelo menos um cart�o. Uma pessoa da plat�ia escolhe duas das tr�s caixas, seleciona um cart�o de cada caixa e anuncia a soma dos n�meros dos dois cart�es que escolheu. Ao saber esta soma, o m�gico identifica a caixa da qual n�o se retirou nenhum cart�o. Descreva todas as maneiras de se colocar todos os cart�es nas caixas de modo de que este truque sempre funcione? (Duas maneiras consideram-se diferentes se pelo menos um cart�o � colocado numa caixa diferente). Uma formula��o equivalente deste problema
�:
Determine todas as parti��es do
conjunto:
{1, 2, ..., 100}
em tr�s subconjuntos V, B e A, de forma
que:
V+B, V+A e B+A sejam disjuntos
(V+B = {x + y tais que x pertence a V e y pertence
a B}, idem para os outros dois conjuntos-soma )
Por enquanto s� foram encontradas duas
solu��es:
V = {1, 4, 7, ..., 100} = {3k + 1}
B = {2, 5, 8, ..., 98} = {3k + 2}
A = {3, 6, 9, ..., 99} = {3k}
(al�m das outras 5 permuta��es de V, B e
A}
e
V = {1}
B = {100}
A = {2, 3, ..., 99} (tamb�m j� se provou que esta � a �nica parti��o -
a menos de permuta��es dos conjuntos - que tem dois conjuntos
unit�rios)
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