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Caro Igor:
Seguem-se alguns coment�rios sobre os seus
problemas.
1�) (Lista da Cone Sul) Estudantes de 13 cidades
diferentes participam de uma competi��o. Os estudantes foram divididos em 5
grupos , de acordo com suas idades 13, 14, 15, 16 ou 17 anos. Prove que
poderemos escolher ao menos 9 participantes tal que, para cada um deles, o
n�mero de participantes de seu grupo � maior que o n�mero de participantes de
sua cidade.
Considere a matriz A(5x13) tal que A(i,j) = n�mero
de estudantes com idade (i+12) que vieram da cidade j.
Sejam:
L(i) = soma dos elementos da i-�sima linha ( i = 1,
...,5)
C(j) = soma dos elementos da j-�sima coluna ( j =1,
..., 13)
5
13
S = soma dos elementos de A = SOMA L(i) = SOMA
C(j)
i = 1 j
= 1
Com estas defini��es, o problema se reduz a provar
que existem pelo menos 9 pares ordenados (i,j) (1 <= i <= 5; 1 <= j
<= 13) tais que L(i) > C(j).
Suponhamos, inicialmente, que todos os estudantes
tenham a mesma idade (digamos r+12 anos).
Ent�o L(r) = S e L(i) = 0 para i <>
r.
Como h� pelo menos um estudante de cada uma das 13
cidades, nem todos os estudantes v�m da mesma cidade. Assim, para todo j, C(j)
< S ==> L(r) > C(j) e podemos escolher 9 pares (r,j) tais que L(r) >
C(j).
Suponhamos, agora, que pelo menos dois estudantes
t�m idades diferentes e que existam no m�ximo 8 pares ordenados (i,j) tais
que L(i) > C(j).
Para cada (i,j) calculemos o valor m�ximo de [L(i)
- C(j)].
Este valor m�ximo � igual a S, e ocorre justamente
quando:
1. todos os estudantes tiverem idade (i+12)
(ou seja, L(i) = S);
E
2. nenhum estudante vier da cidade j (ou seja, C(j)
= 0).
Agora, vamos calcular a soma de todos os [L(i) -
C(j)] (1 <= i <= 5; 1 <= j <= 13).
5
13
5
13
SOMA [ SOMA L(i) - C(j) ] = 13*SOMA L(i) - 5*SOMA
C(j) = 13*S - 5*S = 8*S.
i = 1 j =
1
i =
1 j
= 1
A contribui��o dos termos com L(i) > C(j) �, no
m�ximo, igual a 8*S (no m�ximo 8 termos com valor m�ximo igual a S).
De fato, a contribui��o m�xima � estritamente menor
do que 8*S, uma vez que se todos os 8 termos [L(i) - C(j)] fossem iguais a S,
ent�o, todos os estudantes teriam a mesma idade ( i seria o mesmo para os 8
pares (i,j) ) o que contraria a nossa hip�tese de existirem pelo menos dois
estudantes com idades distintas.
Para todos os demais termos do somat�rio, teremos
L(i) <= C(j) ==> L(i) - C(j) <= 0 ==> contribui��o <=
0.
Isso quer dizer que:
5
13
SOMA [ SOMA L(i) - C(j) ] < 8*S
==> contradi��o.
i = 1 j =
1
Logo, existem pelo menos 9 pares ordenados (i,j)
com L(i) > C(j). ***************
2�) Prove que tg(81)� -tg(63�) +tg(9�) -tg(27�) =
4
N�o consegui achar nenhuma forma "n�o-bra�al" de se
provar isso.
O melhor que eu consegui foi expressar estes �ngulos em termos do �ngulo de 45 graus, cuja tangente �
1, o que facilita a �lgebra.
Temos que: 81 = 45 + 36, 63 = 45 + 18, 27 = 45 - 18
e 9 = 45 - 36, e os �ngulos de 18 e 36 graus tamb�m n�o s�o muito "ruins", uma
vez que 18 = 90/5 e 36 = 180/5 ==> pode-se calcular o valor dos senos e
cossenos desses �ngulos usando nos. complexos ou a geometria do pent�gono e do
dec�gono regular, por exemplo.
No caso dos nos. complexos, podemos calcular o
valor de [cos(x) + i*sen(x)]^5 de duas formas -
expandindo o bin�mio e usando a f�rmula de DeMoivre. Igualando os resultados
obtidos e fazendo algumas simplifica��es, obtemos:
cos(5x) = 16*cos^5(x) - 20*cos^3(x) +
5*cos(x)
sen(5x) = 16*sin^5(x) - 20*sin^3(x) + 5*sin(x)
Eventualmente, chega-se a:
tg(18) = sen(18)/cos(18) = raiz[(5 -
2*raiz(5))/5] = A
tg(36) = sen(36)/cos(36) = raiz[5 - 2*raiz(5)] =
raiz(5)*A
e, portanto:
tg(81) = tg(45+36) = [1 + raiz(5)*A]/[1 - raiz(5)*A]
tg(63) = tg(45+18) = (1 + A)/(1 - A)
tg(27) = tg(45-18) = (1 - A)/(1 + A)
tg(9) = tg(45-36) = (1 - raiz(5)*A)/(1 +
raiz(5)*A)
Depois, � s� somar e simplificar...
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Um abra�o,
Claudio. |