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[obm-l] Re: [obm-l] Geometria Plana, Propriedade e C�lculo
Caro Igor:
Seguem-se meus coment�rios.
> 1�)Um tri�ngulo ABC tem lados medindo a, b, c. Tangentes
> ao c�rculo inscrito s�o constru�das paralelas aos lados.
> Cada tangente forma um tri�ngulo com os dois outros
> lados do tri�ngulo e um c�rculo � inscrito em cada um
> dos tr�s tri�ngulos. Encontrar a �rea total dos quatro
> c�rculos inscritos.
Sejam P e Q os pontos de interse��o da tangente ao inc�rculo paralela ao
lado BC, com os lados AB e AC, respectivamente ==> Tri�ngulo APQ ~ Tri�ngulo
ABC.
R = raio do inc�rculo de ABC
Ha = altura de ABC relativa ao lado BC ==>
Ha - 2*R = altura de APQ relativa ao lado PQ
A = �rea do tri�ngulo ABC = (1/2)*a*Ha ==>
p =semi-per�metro do triangulo ABC = (a+b+c)/2 ==> A = p*R
Logo, (1/2)*a*Ha = p*R ==> Ha = 2*p*R/a (1)
Ra = raio do inc�rculo de APQ
Por causa da semelhan�a de APQ e ABC, teremos: Ra / (Ha - 2*R) = R / Ha
==>
Ra = R - 2*R^2/Ha (2)
(1) e (2) ==> Ra = R*(p-a)/p
Analogamente, temos que Rb = R*(p-b)/p e Rc = R*(p-c)/p
A soma das �reas dos tr�s c�rculos ser�:
S = Pi*(R^2 + Ra^2 + Rb^2 + Rc^2) =
Pi*R^2*(p^2 + (p-a)^2 + (p-b)^2 + (p-c)^2)/p^2 (3)
Agora falta expressar R^2 em fun��o de a, b e c:
A = raiz(p*(p-a)*(p-b)*(p-c)) = p*R ==>
R^2 = (p-a)*(p-b)*(p-c)/p (4)
(3) e (4) ==>
S = Pi*(p-a)*(p-b)*(p-c)*[p^2+(p-a)^2+(p-b)^2+(p-c)^2]/p^3
onde p = (a+b+c)/2
***************
> 2�) Achei essa propriedade interessante e resolvi repassa
> r:
> (n-1)(n-2)/2 + n(n-1)/2 = (n-1)�
> [(n-1)/2]*(n -2 +n) = (n-1)�
> [(n-1)/2]*(2n -2) = (n-1)�
> [(n-1)/2]*2(n-1) = (n-1)�
> (n-1)*(n-1) = (n-1)�
> (n-1)=(n-1)
>
Ou seja, todo quadrado perfeito � soma de dois n�meros triangulares. Um
outro problema parecido (que apareceu h� pouco tempo na lista) � provar que
todo cubo perfeito � diferen�a de dois quadrados.
********************
> 3�) C�lculo I
> I)Construa o gr�fico da fun��o f(x)= sech(x) (secante
> hiperb�lica)
> Secante hiperb�lica � o inverso do cosseno hiperb�lico
> cosseno hiperb�lico = (e^x + 1/e^x)/2
>
Esse � um exerc�cio meio bra�al de deriva��o, onde voc� deve achar as
interse��es com os eixos, os pontos extremos e de inflex�o e as ass�ntotas
do gr�fico de y = Sech(x).
> I) Dada a fun��o x^2 + xy + y^2 = 1 calcule o ponto mais
> pr�ximo da origem.
Trata-se de minimizar d = raiz(x^2 + y^2) sujeito a x^2 + xy + y^2 = 1.
Uma forma seria usar o m�todo dos multiplicadores de Lagrange.
No entanto, como isso � C�lculo I, uma forma mais sutil seria reconhecer que
a curva (n�o � uma fun��o) de equa��o:
x^2 + xy + y^2 = 1
� uma elipse centrada na origem e cujos eixos est�o contidos nas retas y = x
e y = -x.
Por exemplo, voc� pode fazer uma rota��o dos eixos coordenados atrav�s da
mudan�a de vari�veis:
x = ucosA - vsenA e y = usenA + vcosA
Usando a equa��o original e simplificando, voc� chega a:
x^2 + xy + y^2 = 1 = (1+senAcosA)u^2 + (1-senAcosA)v^2 + (cos^2A - sen^2A)uv
Para eliminar o termo em uv, voc� pode escolher, por exemplo, cosA = senA =
1/raiz(2) (A = 45 graus).
Assim, a equa��o fica:
(3/2)*u^2 + (1/2)*v^2 = 1 ==> u^2/[raiz(6)/3]^2 + v^2/[raiz(2)]^2 =1 ==>
Elipse de semi-eixos raiz(6)/3 e raiz(2).
Logo, os dois pontos mais pr�ximos (e tamb�m os dois mais distantes) da
origem ser�o os v�rtices da elipse.
y = x ==> x^2 + x*x + x^2 = 1 ==> 3x^2 = 1 ==>
x = y = 1/raiz(3) ou x = y = -1/raiz(3) ==>
Dist�ncia = raiz(x^2+y^2) = raiz(1/3+1/3) =raiz(6)/3
y = -x ==> x^2 - x^2 + x^2 = 1 ==> x^2 = 1 ==>
x = 1, y = -1 ou x = -1, y = 1 ==>
Dist�ncia = raiz(1^2+1^2) = raiz(2)
Logo, a dist�ncia m�nima da elipse at� a origem � igual a raiz(6)/3.
Os pontos correspondentes s�o (1/raiz(3),1/raiz(3)) e
(-1/raiz(3),-1/raiz(3)).
Um abra�o,
Claudio.
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