[obm-l] fun��es cont�nuas, mon�tonas, patol�gicas...

["Jose Francisco Guimaraes Costa" <jfgcosta@xxxxxxxxxxxxx>]

Existem ocasi�es em que este forum se assemelha �s CPI's - dado um assunto,
ele � acaloradamente discutido e de repente, n�o mais do que de repente,
tudo acaba sem que se chegue a uma conclus�o formal. Quando isso ocorre com
uma CPI, diz-se que ela acabou em pizza. Eu n�o tenho um termo para definir
o fim das discuss�es similares aqui, e se o tivesse ele certamente n�o teria
a conota��o pejorativa de uma pizza.

Talvez - ou muito provavelmente - o problema n�o esteja com o forum mas
comigo, j� que, por falta de forma��o acad�mica matem�tica, eu me sinto
perdido na minha ignor�ncia quando algu�m encerra a discuss�o com um
dogm�tico "... e isso � facilmente demonstr�vel".

Abaixo est� o final da �ltima discuss�o enquadrada no crit�rio definido no
in�cio desta mensagem.

Para os que n�o se lembram da proposi��o que originou a discuss�o, ela era
algo do tipo "Se uma fun��o f(x) � cont�nua no intervalo [a,b], e f(b)>f(a),
ent�o f(x) � estritamente crescente em algum intervalo [c,d] contido em
[a,b]".

O bom senso - um conceito puramente subjetivo - de um n�o-matem�tico diria
que a proposi��o � obviamente verdadeira.

Logo no in�cio perguntei qual a diferen�a entre crescente e estritamente
crescente. Responderam, e conclui que estritamente crescente � o que aprendi
como sendo mon�tona crescente.

No desenrolar das dicuss�es sugeriram que para a proposi��o ser verdadeira
n�o bastava que a fun��o fosse cont�nua no intervalo, teria que ser tamb�m
diferenci�vel no intervalo. Perguntei qual a defini��o de fun��o cont�nua.
N�o responderam.

Apresentaram um contra-exemplo - uma fun��o "patol�gica" - para provar que a
proposi��o era falsa. Quando repliquei simploriamente dizendo que negar que
a proposi��o fosse verdadeira seria um contra-senso total, responderam
sugerindo que se aplicasse zooms sucessivos no gr�fico da fun��o patol�gica,
sempre veria um serrilhado. Algo como fractais, conclui.

O assunto foi encerrado com as mensagens abaixo. Ficou sem resposta a
observa��o que fiz, dizendo que para os fins a que se prop�e n�o vejo
diferen�a alguma entre f(x) e g(x).

O apelo final. Ajudem este n�o-matem�tico a saber como ir do primeiro para o
d�cimo andar de um edif�cio sem ter que subir qualquer lance de escadas. Ou,
j� que "n�o � dif�cil demonstrar que g n�o � mon�tona em nenhum intervalo",
apresentar essa demonstra��o que, em n�o sendo dif�cil, deverei ser capaz de
entend�-la.

Antecipada e profundamente grato,

JF

----- Original Message -----
From: Nicolau C. Saldanha <nicolau@sucuri.mat.puc-rio.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Monday, February 03, 2003 2:38 PM
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] prova de uma afirma��o


> On Mon, Feb 03, 2003 at 11:25:22AM -0200, Cl�udio (Pr�tica) wrote:
> > Caro Artur:
> >
> > Voc� j� deve ter ouvido falar que existem fun��es que s�o cont�nuas em
toda a
> > reta mas n�o s�o diferenci�veis em ponto algum - um exemplo � justamente
dado
> > por uma s�rie de fun��es:
> >
> >              infinito
> > f(x)  =  SOMA  12^n * cos( Pi * x / 2^n )
> >               n = 0
>
> Acho que voc� queria dizer o seguinte
>
> f(x) = SOMA 1/2^n cos(Pi x/2^n)
>
> Outro exemplo (que talvez torne a demonstra��o mais f�cil) seria
>
> g(x) = SOMA 1/2^n cos(Pi x/4^n)
>
> � f�cil calcular o valor desta fun��o em racionais di�dicos
> (i.e., racionais da forma a/2^k) pois a partir de certo valor de n
> os cos s�o todos iguais a 1. N�o � dif�cil ent�o demonstrar que g
> n�o � mon�tona em nenhum intervalo.
>
(...)
>
> []s, N.
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