Pessoal, estou mandando esta mensagem de novo porque
eu a mandei ontem e ainda n�o a recebi, n�o sei se os
outros membros da lista receberam.
--- felipe mendona <felipensador@hotmail.com>
escreveu:
Oi a todos da lista ! Pessoal, tem um
problema de geometria espacial do IME-95 que nao
consegui resolver,segue logo abaixo:
6 esferas identicas de raio R
encontram-se posicionadas no espa�o de tal forma que
cada uma delas seja tangente a exatamente 4
esferas.Desta forma,determine a aresta do cubo que
tangencie todas as esferas.
Grato
Felipe Mendon�a.
Vit�ria-ES
Ol� Felipe!
Primeiro � bom voc� tentar imaginar como elas est�o
exatamente posicionadas e como o cubo as tangencia.
Imagine que voc� coloca 4 esferas sobre um plano, cada
uma tangente a outras duas, de tal maneira que seus
centros formem um quadrado. ent�o voc� coloca uma
quinta esfera sobre essas 4 e uma sexta esfera sob
elas. Anexei um desenhei que mostra, mais ou menos,
isso visto de cima. Aproveitei pra j� colocar como o
cubo tem que ficar para tangenciar todas as esferas.
Agora pela figura voc� pode ver que a linha azul tem a
medida da aresta do cubo. E podemos ver que a linha
azul � a soma de um raio, a diagonal do quadrado
(vermelho) formado pelos centros das quatro esferas e
mais um raio do outro lado.
Como o quadrado formado pelos centros das esferas tem
lado igual a dois raios, sua diagonal ser�:
d = 2.R.raiz(2)
Agora somando tudo temos a aresta do cubo:
= R + d + R
= R + 2.R.raiz(2) + R
= 2R.[1 + raiz(2)]
Um abra�o e feliz natal a todos!
Rafael.
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