[obm-l] Re: [obm-l] Uma d�vida simples

["Eduardo Casagrande Stabel" <dudasta@xxxxxxxxxxxx>]

From: Felipe Villela Dias
>
>Pessoal, desculpem o meu n�vel de ignor�ncia mas me surgiu uma d�vida:
todos os >n�meros primos possuem ra�zes quadradas irracionais? Caso
positivo, existe alguma prova >simples para isso?

Vou anexar abaixo a mensagem do Rodrigo Villard Milet que responde a sua
pergunta em particular. Se uma raiz racional de um inteiro n�o � inteira,
ent�o ela � irracional.

MENSAGEM

Na verdade isso � muito mais geral. Se raiz n-�sima de a^m (a natural) n�o �
inteiro, ent�o deve ser irracional. � f�cil provar isso, se vc sabe um
crit�rio para achar ra�zes racionais de equa��es com coeficientes inteiros.
LEMA: Dada a equa��o A(n)x^n + A(n-1)x^(n-1) +... +A(1)x+A(0)=0 e p/q (na
forma irredut�vel) � raiz, ent�o p divide A(0) e q divide A(n).
Prova: Substitua p/q na equa��o. Ent�o A(n)p^n = -q*[A(n-1)p^(n-1)
+...+A(0)q^(n-1)] e como p e q n�o tem fatores em comum, segue que todos os
fatores de q se encontram em A(n), logo q | A(n). Analogamente p | A(0).

Ent�o considere a equa��o x^n - a^m=0. Temos que  raiz n-�sima de a^m �
raiz. Ent�o, pelo lema, se � racional (p/q), ter�amos p | a^m e q | 1, logo
p/q � inteiro, o que � uma contradi��o, j� que estamos supondo que n�o �
inteiro.
Logo raiz n-�sima de a^m (a natural ), se n�o � inteiro, � irracional.

Abra�os,
 Villard



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