Re: [obm-l] a<b

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Fri, Nov 29, 2002 at 03:01:54PM -0200, basketboy_igor wrote:
> Poderia ajudar nessa quest�o:
> Sejam a, b e c pertencentes ao reais positivos tais que 
> a+b+c=1. Prove que a^2b + b^2c + c^2a < 4/27

Acho melhor formular assim.

Se a,b,c >= 0, a+b+c = 1 ent�o

a^2 b + b^2 c + c^2 a <= 4/27.

Vou resolver usando c�lculo, deve existir uma solu��o ainda mais
elementar usando s� �lgebra.

A nossa fun��o �

F(a,b,c) = a^2 b + b^2 c + c^2 a.

e o dom�nio � o tri�ngulo equil�tero descrito no enunciado.

Nos v�rtices F(1,0,0) = F(0,1,0) = F(0,0,1) = 0.

Nos lados, digamos no lado c = 0 (os tr�s s�o iguaizinhos) temos 
b = 1-a e

F(a,b,c) = a^2 (1-a), 0 <= a <= 1

que vale 0 nas pontas e tem um �nico ponto cr�tico em a = 2/3 onde

F(2/3,1/3,0) = 4/27.

Na face temos

grad F = (2ab+c^2, 2bc+a^2, 2ca+b^2)

e queremos procurar os pontos onde as tr�s coordenadas s�o iguais
(de modo que o vetor gradiente fique perpendicular ao plano a+b+c=1).

Observando que

2ab+c^2 = a^2 + b^2 + c^2 - (a-b)^2

devemos ter

(a-b)^2 = (b-c)^2 = (c-a)^2

o que s� ocorre se a=b=c=1/3 onde

F(1/3,1/3,1/3) = 1/9 < 4/27.

Ali�s este ponto fixo central � o que se chama uma sela de macaco.

[]s, N.

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