Re: [obm-l] OBM-u

["Domingos Jr." <dopikas@xxxxxxxxxx>]

> Quest�o 2.
> Uma matriz quadrada n por n tem diagonal por formada por 1s e as somas dos
> m�dulos dos elementos de cada linha n�o � maior do que 2. Mostre que o
> determinante est� entre 0 (inclusive) e 1, n�o podendo ser 1.

Se A for tal matriz podemos calcular sua norma 2 de uma maneira n�o mto
complicada:
||.|| == norma 2 induzida da matriz
||A|| = sup{||Ax|| , com  ||x|| = 1}
os elementos da matriz s�o todos menores ou iguais a 1 em m�dulo, com a
igualdade valendo para toda a diagonal, isso nos d� a no��o intuitiva que
||A|| = 1

sendo A = U.SIGMA.V', uma decomposi��o SVD de A, temos que a primeira
entrada da matriz diagonal SIGMA � 1, como os valores da diagonal est�o
dispostos de maneira decrescente e det|A| = det|SIGMA| <= 1.

O enunciado parece ignorar a matriz I, pois basta tom�-la n x n, tem todos
os elementos da diagonal iguais a 1 e a soma dos m�dulos dos elementos das
linhas � 1 <= 2. det|I| = 1

Bastaria provar que o determinante n�o � negativo... por enquanto eu n�o
tenho id�ias.

> Quest�o 4.
> Resolva x = sqrt(2 + sqrt(2 - sqrt(2 + x))).

de cara vemos
-2 <= x <= 2

elevando ao quadrado e passando os que fica fora de uma raiz para o lado
esquerdo e assim consecutivamente ca�mos num polin�mio de grau 8 (acho) da�
tem que ver uma maneira de obter as ra�zes dele, � um trabalho chato...
queria ver se algu�m conhece uma solu��o elegante e direta.


=========================================================================
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista � <nicolau@mat.puc-rio.br>
=========================================================================