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Oi para todos, Eu
estou um tanto intrigado com o que consta no excelente livro sobre An�lise Real
(em R) publicado em 2000 por Robert Bartle e Donald Sherbert (dois grandes
autores), "Introduction to Real Analysis". No livro h� uma prova daquele famoso teorema o qual diz que, se f � definida em um intervalo I e a � um ponto interior de I no qual as n-1 primeiras derivadas de f s�o nulas e a derivada de ordem n � diferente de zero, ent�o:Se n � par e a n-�sima derivada � >0, ent�o f tem um m�nimo relativo em a;Se n � par e a n-�sima derivada � <0, ent�o f tem um m�ximo relativo em a;Se n � �mpar, ent�o f n�o tem nem um m�ximo nem um m�nimo relativos em a.A prova baseia-se no Teorema de Taylor e os autores assumem – e � isto justamente o que me intriga – que a derivada de ordem n de f existe e � cont�nua em uma vizinhan�a de a. Ora, na realidade, parece-me que o teorema n�o requer uma hip�tese t�o forte, n�o � necess�rio assumir a continuidade de f^n em um a vizinhan�a de a. Nem sequer � necess�rio assumir que f^n exista em toda uma vizinhan�a de a. A simples exist�ncia de f^n j� � suficiente para o teorema dos pontos extremos ser v�lido. Certo?Eu realmente gostaria de saber porque autores consagrados assumem uma hip�tese mais forte do que a necess�ria. (Apesar disto, recomendo intensamente este livro, � excelente)Artur |