Re: [obm-l] Probabilidade

["Eduardo Casagrande Stabel" <dudasta@xxxxxxxxxxxx>]

From: Wagner
>
>Oi para todos !
>
>      � poss�vel descrever a probabilidade do evento abaixo em uma f�rmula
apenas?
>
>    Uma caneta � girada por uma pessoa de forma aleat�ria. Os movimentos
poss�veis da caneta s�o >meia volta para a esquerda e meia volta para a
direita. Qual a probabilidade de que ap�s n >movimentos aleat�rios a caneta
tenha feito pelo menos 2 voltas ou para esquerda ou para a direita
>(considere apenas o balan�o final, ex: 2 voltas para esquerda e meia volta
para direita deve ser >considerado como uma volta e meia para a esquerda).
>
>    Andr� T.

Caro Andr� T.,
gosto dos problemas que voc� envia � lista, eu os considero muito criativos.

Este n�o parece ser dif�cil, mas � um pouco comprido.
Vamos considerar, para n�o ficar tratando de 1/2 em 1/2, que cada giro d� 1
volta para direita ou para a esquerda, i.e., acrescente +1 ou -1 �s voltas
totais.
Queremos saber qual a probabilidade de a soma de n parcelas "+1" ou "-1"
retornar um dos n�meros: -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 (de 4 voltas �
esquerda � 4 voltas � direita).

Se no total dos n giros, d foram � direita, se ter� n - d � esquerda. Vamos
separar em casos:

CASO o resultado final seja 4 (ou -4). A soma de d � direita com n - d �
esquerda (vezes -1) deve ser igual a 4, ou seja, d - (n - d) = 4 e d >=0 e
n - d >=0. Quantas s�o as possibilidades?
� preciso que 2d = 4 + n, ou seja, d = (4 - n)/2 que s� � inteiro se n �
par.
Para que d >= 0 � preciso que n >= 4, n - d >= 0 vale tamb�m.
Deve-se ter, de um total de n escolhas, (4 - n)/2 para a direita e o resto �
esquerda. As possibilidades s�o
COMB(n ; (4-n)/2).

CASO o resultado final seja 3 (ou -3). De modo similar n >= 3 e precisa ser
�mpar, as possibilidades s�o
COMB(n ; (3-n)/2)

CASO seja 2 (ou -2), n>=2 par e h� COMB(n ; (2-n)/2) possibilidades.

E geralmente

CASO seja i (ou -i), n>=1 deve ter a paridade de i e h� COMB(n ; (i -n)/2)
possibilidades.

Portanto se n for PAR >=4 o n�mero de possibilidades de acabar em -4,-2,0,2
ou 4 �
P(n) = 2*COMB(n ; (4-n)/2) + 2*COMB(n ; (2-n)/2) + COMB(n ; n/2).
Se n for �MPAR >=3 o n�mero de possibilidades de acabar em -3,-1,1 ou 3 �
I(n) = 2*COMB(n ; (3-n)/2) + 2*COMB(n ; (1-n)/2)

Para n >= 3 temos a quantidade total de P(n) se n � par e I(n) se n � impar.

Como "juntar" essas f�rmulas em uma s�?
Um jeito artificial � o seguinte.
[(-1)^n + 1]/2 * P(n) - [(-1)^n - 1]/2 * I(n)

Eduardo.
Porto Alegre, RS.

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