Re: [obm-l] corredor

["Bruno F. C. Leite" <bruleite@xxxxxxxxxxxx>]

At 23:53 25/01/02 -0300, you wrote:
>Em um corredoe existem 900 arm�rios numerados de 1 a
>900.Novecentas pessoas numeradas de 1 a 900 atravessam
>este corredor ,uma a uma, em ordem crescente de
>numera��o.Cada pessoa deve reverter os arm�rios que
>sA� m�ltiplos de sua numera��o.Por exemplo, a pessoa
>de n�mero 4 deve mexer nor arm�rios 4,8,12,16,20,etc,
>abrindo aqyeles que est�o fechados e fechando aqueles
>que est�o abertos.Ao final, quais arm�rios estar�o
>abertos e quais estar�o fechados?

Vamos supor que inicialmente todos est�o fechados. (� importante saber a 
situa��o inicial dos arm�rios)
Um arm�rio n estar� aberto se e s� se o n�mero de pessoas que mexeram no 
arm�rio n for impar.

O n�mero de pessoas que mexem no arm�rio n � o n�mero de divisores de n. 
Logo, isto equivale a dizer que n tem um n�mero �mpar de divisores.

(quais sao os n�meros n com quantidade impar de divisores?)
...
...
...
...
...
Resposta: Os quadrados perfeitos!

Vamos provar isto. Seja n um n�mero com quantidade impar de divisores. Seja 
d um divisor de n. Ent�o n/d tb � divisor de n. Logo, NORMALMENTE os 
divisores v�m aos pares. Para que n tenha uma quantidade impar de 
divisores, um destes pares (d, n/d) deve obedecer d=n/d. Logo n=d^2, n � 
quadrado perfeito. (e � claro que vale a rec�proca)

Bruno Leite
www.ime.usp.br/~brleite



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