Re: Geometria espacial

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Thu, Aug 02, 2001 at 08:03:56PM -0400, Euraul@aol.com wrote:
>        Boa noite a todos,
>        Agrade�o a aten��o dada a quest�o, por�m eu esqueci de dizer que essa 
> pergunta me foi feita por um aluno do colegial. Assim eu procurava uma 
> solu��o somente com o que � dado no ensino m�dio. Ent�o eu gostaria de 
> entender melhor esse trecho da resposta do prof. Nicolau :
> > "Uma forma aparentemente mais elementar mas no fundo equivalente
> > � observar que podemos usar uma esp�cie de Cavalieri para comparar
> > o volume deste s�lido com o de uma esfera de raio r:
> > a raz�o entre as �reas � sempre 4/Pi.
> > Digo 'aparentemente' pq esta solu��o pressup�e que voc� saiba
> > o volume da esfera; � poss�vel mas bastante complicado justificar
> > a f�rmula para o volume da esfera em termos elementares.
> > Minha impress�o � a de que isto raramente � feito no ensino m�dio;
> > mesmo o volume do cone raramente � devidamente justificado."

Considere o s�lido e a esfera lado a lado e considere planos horizontais
que cortam os dois s�lidos. Cada plano corta a esfera em um disco de raio,
digamos, r. Este mesmo plano corta o s�lido em um quadrado de lado 2r.
Esta �ltima afirma��o � a crucial e pode ser justificada ou via um desenho
ou via coordenadas para os dois s�lidos (x^2 + y^2 + z^2 <= r^2 para a bola
e x^2 + z^2 <= r^2, y^2 + z^2 <= r^2 para o seu s�lido).
Em cada fatia vale a seguinte propor��o entre as �reas das se��es:

         �rea da se��o da esfera          Pi
       ---------------------------  =   ------
         �rea da se��o do s�lido          4

donde

         Volume da bola       Pi
       ------------------ = ------
        Volume do s�lido      4

Se voc� souber que o volume da bola � 4/3 Pi r^3 voc� deduz que o volume
do s�lido � 16/3 r^3.

[]s, N.

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