Re: ol� e problemas :)

["Ralph Costa Teixeira" <ralph@xxxxxxxxxxxxxx>]

    Oi, Fernanda.

-----Original Message-----
From: Fernanda Medeiros <femedeiros2001@hotmail.com>
To: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
Date: Wednesday, July 18, 2001 11:50 PM
Subject: ol� e problemas :)


>   Ol� pessoal,
>Tudo bem? Bem, essa � a primeira mensagem que envio e pe�o j�
>antecipadamente desculpas pelas d�vidas triviais que apresentarei agora,
>tenho d�vida em algumas dessas quest�es, caso algu�m possa ajudar, ficarei
>imensamente grata!
>  1.Seja f(x)=x^3 -3x +1 .Determine o n� de solu��es reais distintas da
>equa��o f(f(x))=0

    Hmmm... Com c�lculo � mais f�cil.... Sem c�lculo... Vejamos....

    Primeiro, escreva f(x) assim:

    f(x)=x^3-3x+1 = (x^2-2x+1)(x+2)-1 = (x-1)^2.(x+2)-1

    Note que tanto (x-1)^2 quanto (x+2) crescem em m�dulo � medida que x vai
de -2 a -INFINITO (nesta dire��o). Assim, f(x) � CRESCENTE para x indo de
-INFINITO a -2 (e f(x) vai de -INFINITO a -1).

    Agora, note que f(-2)=-1; f(-1)=3; f(0)=1; f(1)=-1 e f(2)=3.

    Para entender o que vem a seguir fa�a um gr�fico; enquanto x
percorre -INF, -2, -1, 0, 1, 2, +INF temos que f percorre -INF,
(estritamente crescente at�) -1, 3, 1, -1, 3, +INF. N�o sabemos *a priori*
se f � decrescente em
(-1,1) ou se � crescente depois disso.

    Mas de qualquer forma, f(x) tem 3 ra�zes (a, b e c), a em (-2,-1), b em
(0,1) e c em (1,2). Como f(x) � de 3o grau, estas s�o as �nicas raizes.

    i) f(x)=a
    No seu gr�fico, � dif�cil decidir de f(x)=a tem 1 ou 3 ra�zes, pois a
gente n�o sabe a princ�pio se f "vai mais para baixo em volta de
(1,f(-1)=1)" ou n�o. Sem c�lculo, eu faria assim:

    Se f(x)=a, ent�o (x-1)^2(x+2)=1+a<0 (pois a<-1). Como (x-1)^2>=0,
devemos ter x+2<0, isto �, x<-2. No gr�fico voc� v� que o problema morreu --
como f � estritamente crescente para x em (-INF,-2), e f percorre (-INF,-1)
enquanto isso (intervalo este que cont�m a!) f(x)=a tem exatamente uma raiz
real (que � menor que -2).

    ii) f(x)=b
    b est� em (0,1), certo? Seu gr�fico diz tudo: f cobrir� este intervalo
tr�s vezes, entre x=-2 e x=-1 (f vai de -1 a 3), entre x=0 e x=1 (f vai de 1
a -1) e de novo entre x=1 e x=2 (f vai de -1 a 3 de novo). Cada intervalo
destes ter� uma raiz de f(x)=b. Como f(x)=b � uma equa��o de 3o grau, estas
s�o todas as solu��es saem daqui.

    iii) f(x)=c
    c est� em (1,2), n�? Seu gr�fico resolve de novo:
    x=-2 a x=-1 (f=-1 a f=3) tem uma solu��o;
    x=-1 a x=0 (f=3 a f=1) tem uma solu��o;
    x=1 a x=2 (f=-1 a f=3 de novo) tem outra solu��o.

    � claro que as solu��es de f(x)=b e f(x)=c s�o distintas. Assim,
contamos 1+3+3=solu��es de f(f(x))=0.

>  2.Determine todos os n�s reais x tais que
>    x[x[x[x]]]=88  onde [x] � o maior inteiro que n�o supera x


    Eu j� vi isso em algum lugar.... Note que f(x)=x[x[x[x]]] � crescente,
assim a resposta ser� um n�mero s� (ou talvez um intervalo).

    x=3 d� 3.3.3.3=81. Perto, mas n�o chegou l�.
    x=4 d� 4.4.4.4=256. Longe demais.

    Assim, conclui-se que x est� em (3,4). Assim, [x]=3 e portanto podemos
escrever:

    f(x)=x[x[3x]] (s� em (3,4))

    Agora, tente x=3+1/3 (que � quando a fun��o de dentro muda!). Tem-se:

    x=10/3: f(x)=x[x[10]]=x[10x]=x[100/3]=33x=110 (longe demais!)

    Assim, x est� em (3,10/3) e portanto devemos ter [3x]=9.

    Ali, f(x)=x[9x] (isto s� em (3,3+1/3)). A fun��o de dentro s� muda a
cada nono... Tente x=3+1/9 e x=3+2/9:

    x=28/9: f(x)=x.28=28.28/9 =87,1...< 88
    x=29/9: f(x)=x.29=29.29/9 =93,4...> 88

    Ent�o nossa solu��o est� entre estes dois n�meros, onde f(x)=x[9x]=28x
com certeza. Enfim, tem-se 28x=88, isto �, x=22/7, como a �nica solu��o
(note que ela est� de fato entre 28/9 e 29/9).

>  3.As bissetrizes dos angulos A e B do triangulo ABC intersectam os lados
>BC e AC nos pontos D e E respectivamente. Supondo que AE+BD=AB,determine a
>medida do angulo C.

    Esta eu fiz usando que BD=ac/(b+c) e AE=bc/(a+c) (a primeira vem de
BD/AB=CD/AC, a segunda � an�loga). Fazendo uma �lgebra n�o muito feia, chego
a a^2+b^2-ab=c^2; a lei dos cossenos acha o �ngulo C.

>  4.Determine todas as fun��es estritamente crescentes f:N*->N* tais que
>f(n+f(n))=2f(n)

    Seja f(1)=a; note que f(1+f(1))=f(a+1)=2a.

    Quem ser�o os (a-1) n�meros f(2), f(3), ..., f(a)? Bom, temos de
escolher entre f(1)=a e f(a+1)=2a, e h� exatamente (a-1) n�meros ali! Assim,
temos de fazer f(2)=a+1; f(3)=a+2;...f(k)=a+k-1;... f(a)=2a-1.

    (Nota: se a=1, o par�grafo anterior � esquisito, mas v�lido apesar de
n�o existir nada entre 2 e a)

    Agora, tome n=a+1. Emt�o f(n+f(n))=f(a+1+f(a+1))=f(a+1+2a)=f(3a+1); por
outro lado 2f(n)=2f(a+1)=4a. Pela propriedade, f(3a+1)=4a. De novo, note que
estamos "apertados" para escolher os caras entre f(a+1) e f(3a+1)...

    Continue esse processo por indu��o; se f((2^k-1)a+1)=2^k.a,
fa�a n=(2^k-1)a+1 e chegue a f((2^(k+1)-1)a+1)=2^(k+1).a e "esprema" os
outros n�meros entre estes. Voc� acaba de mostrar que f(n)=n+a-1.

    Enfim, note que f(n)=n+K-1 satisfaz a condi��o para qualquer K>=1, j�
que:

    f(n+f(n))=f(n+n+K-1)=f(2n+K-1)=2n+K-1+k-1=2(n+k-1)=2f(n).

>  5.Mostre que todo n� racional positivo pode ser representado sob a forma
>    r=a^3 + b^3/c^3 + d^3   a,b,c,d inteiros positivos
>  6.Determine todas as fun��es f:R->R que possuem a propriedade:
>   f(xf(x)+f(y))=(f(x))^2 +y
>  pra todos os reais x e y.
>
>7. O que diz o teorema das bissetrizes?
>
>  Espero que voc�s me ajudem pois realmente preciso! Obrigada
>    B-jinhos
>     F�
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