Re: 0,8... + 0,1... = 1 ?!

[Alexandre Tessarollo <tessa@xxxxxxxx>]

	Uma maneira de vc mostrar que dois n�meros REAIS s�o distintos �
mostrar que existe pelo menos um n�mero entre eles. Caso contr�rio, s�o
o mesmo n�mero.

	Assim, por exemplo, 1 e 2 s�o distintos pq posso, por exemplo, ver que
1,7 est� entre eles. J� 4 e 4 s�o o mesmo n�mero pq n�o consigo achar
nehum n�mero que esteja entre 4 e 4.

	Com 0,99999... e 1, � a mesma coisa que 4 e 4: n�o conseguimos achar
algu�m entre eles., Logo, s�o o mesmo n�mero.

[]'s

Alexandre Tessarollo

PS: Vc talvez esteja com uma d�vida que eu tive por muito tempo. Era uma
racioc�nio em que eu fazia uma analogia dos reais com os inteiros para
matar o argumento que eu expliquei acima. (N�o) Funcionava assim:

	"Pegue os n�meros 1, 2, 3 e 4, por exemplo. 2 e 4 s�o distintos pq h� o
3 entre eles. 1 e 2, APESAR de n�o haver ningu�m (inteiro) entre eles,
s�o distintos* e 1 � o n�mero que vem IMEDIATAMENTE antes de 2. 

	Analogamente, pegue os n�meros 0,999... e 1. Eles s�o distintos* e
0,999... � o n�mero IMEDIATAMENTE antes de 1. A diferen�a 1-0,999...
seria uma "infinitesimal**", o n�mero IMEDIATAMENTE depois de zero."

	*O problema que eu n�o percebia era como saber que os n�meros eram
distintos.

	**Esse era o nome que eu dava para tal valor, usando o bom-senso de
chamar algo muito pequeno (1-0,999...) por um nome que lembrasse algo
t�o infinitamente pequeno quanto a diferen�a. Contudo, hoje sei que est�
errado porque parte de um princ�pio (1 diferente de 0,999...) errado.

Ralph Costa Teixeira wrote:
> 
>         Oi, Gustavo.
> 
>         Na minha opiniao, 0,9999...=1. Sim, eh isso mesmo eh 1. Nao tem
> nada entre esses dois numeros. O primeiro vale 1, o segundo tambem. :)
> 
>         Eu mandei uma mensagem uma vez que tentava esclarecer um pouco
> porque as pessoas acham isso surpreendente (nao tanto porque eh 1 -- para
> isso o seu argumento funciona, e hah outros equivalentes como o do
> Daniel). Procure no arquivo da Olimpiada, em Abril de 2000, sob o titulo
> "O Dia que nao acaba".
> 
>         Abraco,
>                 Ralph
> 
> P.S.: O arquivo da Olimpiada que o Nicolau mantem com tanto carinho estah
> em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> 
> P.S.2: Alias, esta questao tambem jah havia aparecido antes em Maio de
> 1999. Veja tambem
> 
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-rj.1999/threads.html#00143
> sob o titulo "Dizima ou nao-dizima".
> 
> On Sat, 23 Jun 2001, Augusto Morgado wrote:
> 
> > Eu acho estranho que alguns achem estranho 0,9999999...=1 e n�o achem
> > estranho 0,3333333...=1/3.
> > Morgado
> >
> > Gustavo Nunes Martins wrote:
> > >
> > > 8/9 = 0,888...
> > > 1/9 = 0,111...
> > > 0,888... + 0,111... = 0,999...
> > > 8/9 + 1/9 = 9/9 = 1
> > > Entao:
> > > 0,999... = 1
> > >
> > > Nao entendo que 0,999... seja IGUAL a 1. Suponho que seja diferente de
> > > 1. Alguem pode me explicar o que esta coisa significa?
> > >
> > > Atenciosamente,
> > > Gustavo
> >