Re: Resultado interessante

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

Uma demostra��o simples, mas que usa o seguinte teorema:

Teorema: Se t/Pi � racional e cos(t) � racional ent�o
cos(t) = 0, +- 1/2 ou +- 1.

Demostra��o da afirma��o abaixo:

Da lei dos cossenos (a^2 = b^2 + c^2 + 2bc cos(A)) deduz-se
que os cossenos dos �nguloes de um tri�ngulo de lados racionais
s�o tamb�m racionais. Pelo teorema acima, se os �ngulos s�o
racionais em graus, os cossenos s�o 1/2, 0 ou -1/2,
correspondendo a �ngulos de 60, 90 ou 120 graus.
Como a soma dos ^angulos internos � 180, os tr�s �ngulos
s�o iguais a 60 graus e o tri�ngulo � equil�tero.

Demostra��o do Teorema (curta, mas usa matem�tica mais avan�ada).

Se t/Pi � racional ent�o exp(t i) e exp(-t i) s�o inteiros alg�bricos.
Assim 2 cos(t) tamb�m � um inteiro alg�brico. Como � racional,
segue que 2 cos(t) � inteiro, donde 0, +-1 ou +-2.

Este John Conway � mesmo o professor de Princeton?
Que lista � essa onde ele escreve?
[]s, N.

On Tue, 15 May 2001, Paulo Santa Rita wrote:

> Ola Pessoal,
> 
> O fato abaixo, trazido a Lista pelo nosso estimado colega Luis Lopes, � 
> realmente interessante ... aproveito o ensejo para registrar que John Conway 
> ( Catedra John Von Newman - Universidade de Princeton ) tem um livro legal ( 
> deve ter muitos outros, que eu n�o conhe�o ). � o "Livro dos N�meros".
> 
> Alguem prova o fato ?
> 
> 
> >
> >    In fact ANY non-equilateral triangle whose angles are rational
> >numbers of degrees must have at least one irrational side.
> >
> >                    John Conway
> 
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