Re: Combinatoria

[Alexandre Tessarollo <tessa@xxxxxxxx>]

	Essa � uma quest�o de permuta��o circular. Fiz de duas maneiras.

Primeira maneira:

	Vamos primeiro permutar todas as bolas como se estivessem uma ao lado
da outra numa prateleira. Para quem j� estudou permuta��o c/repeti��o, �
f�cil ver que existem N=54!/(6!8!16!24!) arruma��es poss�veis. Agora
"fechemos" o c�rculo, isto �, juntemos uma ponta da prateleira �
outra(como se a prateleira fosse male�vel). Ao fazermos isto, vemos q a
arruma��o q p�e todas as bolas juntas de acordo com a cor, isto �,
BBBBBBAzAz..AzVV...VAmAm...Am � equivalente �
BBBBBAzAz..AzVV...VAmAm...AmB que � equivalente a v�rias outras.
Precisamente 54 arruma��es equivalentes. Basta ver que o "ponto de
corte" da arruma��o acima poderia ter sido em qualquer um dos 53 espa�os
entre as bolas bem como aonde admitimos ter sido, no fim da nossa
prateleira.)
	Logo, o verdadeiro n�mero de arruma��es � N/54.

Segunda maneira:

	Escolha uma bola qualquer, digamos branca. Coloque-a em qualquer
posi��o, pois todas s�o equivalentes inicialemente. Agora, para colocar
a segunda bola branca, temos o lugar sim�trico ao da primeira e mais
52/2=26 lugares (na verdade seriam 52 lugares, s� que s�o sim�tricos
dois a dois. Logo...). Ou seja, j� temos 27 possibilidades. J� podemos
perceber tamb�m que dessa maneira teremos v�rios casos e n�o chegaremos
ao resultado t�o cedo.
	Assim, na hora de colocar as bolas seguintes, n�s "abrimos" o c�rculo.
Isto �, assumimos que a 1a bola colocada representa a 1a posi��o.
Resolvendo essa permuta��o normal, temos M=53!/(5!8!16!24!). Vale
lembrar que a nossa primeira bola branca N�O � diferente das outras, ou
seja, existem 6 bolas brancas q podem ser esta primeira. Portanto, o
verdadeiro n�mero de arruma��es � M/6.

	E, como podemos ver, M/6=N/54. Ou seja, ambos os racioc�nios chegam a
mesma resposta e ambos est�o, a meu ver, corretos.

Aguardo aprecia��o de todos.
Um abra�o,
Alexandre Tessarollo

Ecass Dodebel wrote:
> 
> "De quantas maneiras distintas podemos dispor ao longo de um
> circulo, suposto fixo, 6 bolas brancas, 8 bolas azuis, 16
> bolas verdes, 24 bolas amarelas?"
> 
> O c�rculo fica fixo em nossa frente, mas as bolas ficam livres para serem
> rotacionadas como em uma catraca de bicicleta (acho que voc�s entendem).
> 
> Obrigado!
> 
> Eduardo Casagrande Stabel.
> ________________________________________________________________________
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