Re: Alguns problemas

[Olimpiada Brasileira de Matematica <obm@xxxxxxx>]

Caro Douglas, os problemas da lista nao podem ser difundidos ate' 
duas semanas apos o prazo de entrega final da lista.
Por favor nao resolvam isto na lista.


Estes s�o alguns problemas da lista de prepara��o para a olimp�ada
>iberoamericana. Agrade�o se algu�m puder enviar alguma solu��o.
>
>1-) Dado um tri�ngulo acut�ngulo ABC, seja D o ponto m�dio do arco BC do
>circunc�rculo de ABC, n�o contendo A. Os pontos que s�o sim�tricos a D com
>rela��o � reta BC e com rela��o ao centro do circunc�rculo s�o denotados E e
>F, respectivamente. Finalmente, seja K o ponto m�dio do segmento EA.
>Demonstre que
>(a) a circunfer�ncia que passa pelos pontos m�dios dos lados do tri�ngulo
>ABC tamb�m passa por K
>(b) a reta passando por K e pelo ponto m�dio do segmento BC � perpendicular
>a AF.
>
>2-) Encontre todos os primos p, q para os quais pq divide
>(5^p-2^p)(5^q-2^q).
>
>3-) Dado o tri�ngulo ABC com bissetrizes BM e CN (M pertence a AC, N
>pertence a AB); a semi-reta MN intercepta o circunc�rculo do tri�ngulo ABC
>no ponto D. Prove que
>
>1/BD=1/AD+1/CD
>
>4-) Encontre o menor inteiro positivo K tal que todo subconjunto com K
>elementos de {1,2,...,50} cont�m dois elementos distintos  a, b tais que a+b
>divide ab.
>
>5-) Dado um inteiro x>=2, encontre o valor m�nimo de
>
>x1^5/(x2+x3+...+xn)+x2^5/(x3+...+xn+x1)+...+xn^5/(x1+...+x[n-1])
>
>para n�meros reais positivos x1,...,xn satisfazendo a condi��o
>x1^2+...+xn^2=1.
>
>6-) Prove que, para todo inteiro positivo n, existe um polin�mio com
>coeficientes inteiros cujos valores em 1,2,...,n s�o diferentes pot�ncias de
>2.
>
>7-) Determine os inteiros N>=3 para os quais existem N pontos no plano, n�o
>estando tr�s em uma mesma reta, tais que cada tri�ngulo formado por 3
>v�rtices do fecho convexo deste conjunto de pontos cont�m exatamente um dos
>pontos em seu interior.
>
>8-) Sejam AA1, BB1, CC1 as alturas de um tri�ngulo acut�ngulo ABC e O um
>ponto arbitr�rio no interior do tri�ngulo A1B1C1. Denotamos: M e N os p�s
>das perpendiculares desenhadas de O at� as retas AA1 e BC, respectivamente;
>P e Q, de O at� as retas BB1 e CA, respectivamente; R e S, de O at� as retas
>CC1 e AB, respectivamente. Prove que as retas MN, PQ, RS s�o concorrentes.
>
>9-) Encontre todas as fun��es f: Z->Z tais que f(1)=1 e
>
>f(m+n)*[f(m)-f(n)]=f(m-n)*[f(m)+f(n)]
>
>para quaisquer m e n em Z.
>
>Agrade�o desde j�.
>Douglas Coimbra de Andrade
>
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