Re: D�vida numa quest�o.

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Sat, 18 Mar 2000, Marcos Eike Tinen dos Santos wrote:

> N�gu�m vai dar uma opini�o, n�o?
> 
> Marcos Eike
> 
> ----- Original Message -----
> From: Marcos Eike Tinen dos Santos <mjsanto@carajasnet.com.br>
> To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> Sent: Domingo, 12 de Mar�o de 2000 22:44
> Subject: D�vida numa quest�o.
> 
> 
> > Estudando um problema da IMO de 1996
> >
> > We are given a positive integer r and a rectangular board divided into 20
> x
> > 12 unit squares. The following moves are permitted on the board: one can
> > move from one square to another only if the distance between the centers
> of
> > the two squares is �r. The task is to find a sequence of moves leading

Este sinal estranho deve significar raiz quadrada de r.

> > between two adjacent corners of the board which lie on the long side.
> >
> > (a)  Show that the task cannot be done if r is divisible
> > by 2 or 3.
> > (b)  Prove that the task is possible for r = 73.
> > (c)  Can the task be done for r = 97?
> >
> >
> > No �tem 1, observe que fiz:
> >
> > Se r � divis�vel por 2 e 3 ent�o, por defini��o r � um m�ltiplo de 2 e 3.
> > Como no enunciado d = sqrt(r) => d^2 = r
> >
> > Considerando tal fato, sup�s um eixo cartesiano de tal forma que pudesse
> > trabalhar com essa dist�ncia d, em qualquer parte do tabuleiro.
> >
> > d^2 = a^2 + b^2 => r = a^2 + b^2
> >
> > Ent�o de r � divis�vel por 2 e por 3, ent�o:
> >
> > a^2 + b^2 tamb�m o �.
> >
> > Podemos considerar que a^2 e b^2 seja divis�vel por 2 e 3.
> >
> > Veja que todas os quadrados pode ser congruentes a 0 mod 3 ou a 1 mod 3.
> > Ent�o, a e b s�o m�ltiplos de 3.
> >
> >
> > de fato : (a^2 + b^2)/3. Considerando que o come�o seja na coordenada
> (0,0),
> > ent�o, temos coordenadas (3m,3n), e a �nica solu��o ao sistema � (19,0).
> > cqd..
> >
> >
> > Acho que provei de forma um pouco coerente, mas depois de revisar minha
> > prova, observei que se eu levasse a pe�a a coordenada (18,0).
> >
> > Ter�amos, como dividir por 3 e por 2 o sistema..
> >
> > r = a^2 + b^2 .
> >
> >
> > A�, eu me indaguei ser� que eu interpreto a dist�ncia como a soma das
> > dist�ncias, ou seja, eu movo a pe�a para v�rias posi��es e somo esse
> > percurso, ou a interpreto como sendo a dist�ncia final.
> >
> >
> > Se chegar mais mensagem para vc, me desculpe, � porque est�o voltando
> minha
> > mensagem.
> >
> >
> > Muito Obrigado!
> >
> > Marcos Eike
> >
> 

Achei confuso, principalmente pq voc� n�o separou ou casos r par
e r m�ltiplo de 3.

Caso r par:

A pe�a sempre se move de casa branca para casa branca.
� portanto imposs�vel mover a pe�a de uma casa (branca)
para sua vizinha (preta).

Caso r m�ltiplo de 3:

Este corresponde aproximadamente ao que voc� fez:
se a pe�a anda a na horizontal e b na vertical
concluimos que a e b s�o ambos m�ltiplos de 3.
Novamente � imposs�vel ir de uma casa a sua vizinha.

Quanto aos itens (b) e (c):

(b) 73 = 8^2 + 3^2
Os passos permitidos s�o portanto (+-8, +-3) e (+-3, +-8).

(c) 97 = 9^2 + 4^2
Os passos permitidos s�o (+-9, +-4) e (+-4, +-9).

Fica para voc�s pensarem...
Atentem para as dimens�es do tabuleiro: 20x12.

[]s, N.