Transfinito e Axioma da Escolha

["Paulo Santa Rita" <p_ssr@xxxxxxxxxxx>]

Caros,
Sauda��es !

Complementando as instru��es do Prof Wagner, � oportuno registrar que 
identificar dois elevado a "alefe zero" - o primeiro numero transfinito e 
que � a "quantidade" de inteiros e racionais - com "C", que � a "quantidade" 
de n�meros reais � o que se chama "hipotese do continuo" e � uma quest�o "em 
aberto" na matematica.
Godel mostrou que a hipotese do continuo � independente dos demais axiomas 
da teoria dos conjuntos, isto �, se admitirmos a validade da hipotese do 
continuo e acrescentarmos esta validade como mais um axioma da teoria, nada 
ocorre, vale dizer, n�o surgira contradi��es... mostrou tambem que a 
reciproca e verdadeira,vale dizer, se negarmos a validade da hipotese do 
continuo e acrescentarmos esta nega��o como mais um axioma da teoria dos 
conjuntos tamb�m nada demais ocorrer� ... assim, a hipotese do continuo � 
independente dos demais axiomas da teoria convencional dos conjuntos(Peano).
A teoria  dos conjuntos pode ser dividida em duas partes: com o axioma da 
escolha � chamada "teoria dos conjuntos convencional". Sem o axioma da 
escolha e�chamada teoria dos conuntos restrita".Por que desta distin��o ?
O "Axioma da escolha" afirma que de uma cole��o de conjuntos � possivel 
escolher um elemento de cada conjunto da cole��o e formar assim um novo 
conjunto". Parece Obvio ? Sim, conforme Peano pensou. Ocorre que a 
"liberdade da fun��o de escolha" permite implicar resultados aparentemente 
contraditorios deste axioma:

Ex1 : Existe uma forma de dividir uma esfera tal que, ao remontar os 
peda�os, resultar�o n�o uma, mas duas esferas identicas a original.

Ex2 : com duas cores, � possivel colorir os pontos de um circulo de forma 
que qualquer triangulo retangulo nele incrito n�o tenha dois vertices 
pintados com uma mesma cor .

Notar que todos estes resultados falam que "existe uma forma" possivel de 
fazer. N�o diz "como" fazer !

Muitos matematicos ilustres, dentre os quais destaco Poincare e Hermam Weyl, 
demonstraram desconfian�as com rela��o a este axioma e, dai em diante, quase 
todos os matematicos evitavam utilizar este axioma sob pena de n�o ter o seu 
trabalho bem aceito pela comunidade cientifica.
E neste ponto que entra o "Magistral Godel". Godel mostrou que:

Se a teoria convencional dos conjuntos ( que inclui o axioma da escolha ) � 
inconsistente, isto �, conduz a contradi��es, ent�o a teoria restrita dos 
conjuntos ( que n�o inclui o axioma da escolha) tamb�m conduzira !

Vale dizer que o axioma da escolha n�o � o culpado por introduzir 
inconsistencias na teoria dos conjuntos

E interessante observar que muitos "absurdos aparentes", quando devidamente 
digeridos, permitiram ao ser humano fazer coisas maravilhosas. outrora era 
impossivel extrair raiz quadrada de numero negativo e tal opera��o era tida 
como t�o absurda como a opera��o com a duplica��o da esfera do exemplo 1 
acima, demonstrado por Tarski ... Quando passamos a compreender melhor os 
numeros complexos, a ciencia deu um salto enorme e toda a tecnologia e 
fisica contemporaneas s�o absolutamente inconcebiveis sem eles !... Talvez o 
mesmo ocorra com o axioma da escolha. Quando n�s  aprendermos como trat�-lo, 
uma mundo espetacular pode estar nos esperando ...

abra�os
Paulo Santa Rita
3,1008,200799

>From: Eduardo Wagner <wagner@impa.br>
>Reply-To: obm-rj@mat.puc-rio.br
>To: obm-rj@mat.puc-rio.br
>Subject: Re: Dvida
>Date: Mon, 19 Jul 1999 22:56:48 -0300
>
> >> Nao posso dizer com certeza, pois pode ou nao ser verdade....
> >>
> >> Lembre-se que um infinito nao eh necessariamente igual a outro
> >> infinito, tanto que infinito/infinito eh indeterminado, e nao 1
> >
> >Quais s�o os "tipos" de infinitos classificados?
>
>Caros amigos: o "menor" infinito que conhecemos eh a quantidade
>dos numeros naturais. Este infinito eh igual a quantidade dos numeros
>inteiros e a quantidade dos numeros racionais (incrivel nao?).
>Um infinito maior que este eh a quantidade dos numeros reais. Este
>segundo infinito eh igual a quantidade dos pontos de uma circunferencia,
>e igual ao conjunto dos pontos do plano ou do espaco (mais incrivel, nao?).
>Um infinito ainda maior eh o do conjunto das funcoes de R em R. Esses
>numeros transfinitos sao muito interessantes e ate hoje nao se sabe
>se existe um infinito entre #N e #R.
>Wagner.
>
>
>


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