Re: Problemas interessantes e tal

["Eduardo Casagrande Stabel" <duda@xxxxxxxxxx>]

Lucas,
para que o angulo AEC do problema numero 3 seja agudo, eh necessario que exista o lado AC, se nao o angulo eh necessariamente reto ou obtuso como se pode verificar facilmente. Porem o problema nao fala sobre o lado AC, dando a entender que o vertice A eh oposto ao vertice C, absurdo! Acho que voce deve refazer esse problema, nao acha?
Mas eu adoro Legiao Urbana e Led Zeppelin...

duda

----- Original Message ----- 
From: Lucas <mocelim@zaz.com.br>
To: <obm-rj@mat.puc-rio.br>
Sent: Sunday, May 09, 1999 10:09 PM
Subject: Problemas interessantes e tal


Caros,

a� v�o os 5 problemas que eu criei esta semana (sem saber a resposta, eu
inventei ao acaso, sem ficar uma hora pensando. Eu demorei 5 minutos para
cri�-los, pois criar � barbada, dif�cil � resolver!)


PROBLEMA 1

Mostre todos os pares (a,b) de inteiros positivos tais que 1999a + 1999b
divide
a^2 + b^2 + a^2.b^2 .

PROBLEMA 2

Uma fun��o F: N � N subtrai de todos os n�meros de 4 d�gitos a soma dos
quadrados de seus d�gitos. Determinar o menor n�mero n de 4 algarismos tal
que F(n) = 1999.

PROBLEMA 3

Sejam ABCD um quadrado, M, N, P e Q os pontos m�dios dos lados AB, DC, AD e
BC e E um ponto qualquer de um dos lados do quadrado tal que os tri�ngulos
MNE e PQE sejam ret�ngulos e o �ngulo A�C seja agudo. Dado que a �rea de
ABCD � 16, calcule as �reas dos tri�ngulos MPE e NQE.

PROBLEMA 4

Considere dois n�meros inteiros positivos menores que 1999. Dizemos que eles
s�o g�meos se o produto deles mais a sua soma mais a sua diferen�a � igual a
um m�ltiplo de 7 ou 13. Determine quantos pares de n�meros g�meos existem.

PROBLEMA 5

Escrevemos num quadro tr�s naturais a, b e c. a � m�ltiplo de 11; b �
m�ltiplo de 111; e c � m�ltiplo de a + b. Depois, subtra�mos o menor n�mero
do maior. Sobrar�o apenas dois n�meros; apagamo-os do quadro e escrevemos a
diferen�a entre o maior e o menor. � poss�vel que este n�mero seja divis�vel
por a, b ou c ?

Os problemas 2 e 4 s�o f�ceis. Os outros s�o bem dif�ceis (pra mim). N�o vou
dizer a resposta, vou deixar vcs pensarem.

Obs.: O que acharam das minhas f�rmulas? Elas s�o conhecidas? Ah, e estou
esperando que vcs me digam o nome de um bom livro de matem�tica de ensino
m�dio para mim ler e aprender mais (o livro deve ter uma linguagem acess�vel
e preparar o leitor pra uma Obm).

[]'s

Lucas