Re: problema

[albert bouskela <albert.bouskela@xxxxxxxxxxxxxxxx>]

Nicolau C. Saldanha wrote:
> 
> On Wed, 7 Jul 1999 albert.bouskela@imagelink.com.br wrote:
> 
> > >mas se vc calcular o fatorial de :
> > >2.5! = 3,32335097044784255118406403126465
> > >3.2!= 7,7566895357931776386947595830099
> > >
> > >isso de acordo com a calculadora do windows
> > >
> > >uma coisa:
> > >tambem de acordo com o win
> > >0.5! = 0,886226925452758013649083741670573
> > >(pi)^(1/2)=1,77245385090551602729816748334115
> > >
> > >E o interessante é que o computador leva até 5 segundos em media calculando
> >
> > >esses fatoriais.
> >
> > Heleno:
> >
> > Está tudo correto, porém sem qq. rigor matemático, veja:
> >
> > Gama(n+1)=n!  , assim:
> >
> > Gama(0,5)=raiz(pi) e, por EXTRAPOLAÇÃO (sem qq. rigor matemático):
> >
> > (-0,5)!=raiz(pi)
> >
> > Na verdade, o q. as calculadoras fazem para chegar a um valor de n!
> > qdo. n não é natural equivale a calcular o valor da função Gama para
> > (n+1) ; o q. só pode ser feito somando os termos de uma série
> > teoricamente infinita, por isso o cálculo é demorado.
> > Isto tem utilidade prática, todavia não tem rigor matemático:
> > n! refere-se a um número n , INTEIRO e positivo.
> >
> > Sds.,
> >
> > Albert.
> 
> Conferi as contas no Maple:
> 
> > evalf(GAMMA(0.5),50);
>               1.7724538509055160272981674833411451827975494561224
> 
> > evalf(GAMMA(1.5),50);
>               .88622692545275801364908374167057259139877472806119
> 
> > evalf(GAMMA(2.5),50);
>               1.3293403881791370204736256125058588870981620920918
> 
> > evalf(GAMMA(3.5),50);
>               3.3233509704478425511840640312646472177454052302295
> 
> > evalf(GAMMA(4.2),50);
>               7.7566895357931776386947595830098952250022722531165
> 
> > evalf(GAMMA(4.1210821427051354901145997636127819713792470164075),50);
>               7.0000000000000000000000000000000000000000000000007
> 
> O que eu não concordo é com este ponto de vista de dizer que
> a afirmação (-1/2)! = Pi^(1/2) é algo "sem rigor matemático".
> Quem define a função fatorial somos nós, e nós podemos usar
> o domínio que nos parecer mais interessante. Tanto a definição
> via integrais quanto a definição via limites permitem definir
> z! para qualquer número complexo z, com a ressalva que z! = infinito
> se z é um inteiro estritamente negativo. Em todos os outros pontos
> z do plano complexo z! é um número complexo muito bem definido.
> Nada nos impede de dar definições ainda mais gerais, por exemplo,
> de fatorial de uma matriz: se
> 
>                                 [-99/2     21]
>                            A =  [            ]
>                                 [-245/2    52]
> 
> eu sugeriria dizer que
> 
>                       [           1/2              1/2 ]
>                       [-84 + 15 Pi        36 - 6 Pi    ]
>                 A! =  [                                ].
>                       [            1/2              1/2]
>                       [-210 + 35 Pi       90 - 14 Pi   ]
> 
> Alguém adivinha por que motivo? E se
> 
>                                [1 1]
>                            B = [   ]
>                                [0 1]
> 
> quanto valeria "B!" ?
> 
> A demonstração de que (-1/2)! = Pi^(1/2) não foi apresentada aqui:
> segue uma demonstração baseada na definição via limites e na fórmula
> de Stirling
> 
> n! ~ n^n e^(-n) sqrt(2 Pi n)
> 
> onde o ~ significa que o limite do quociente quando n -> +infinito
> é 1.
> 
> Temos
> 
> ((2n-1)/2)! = (-1/2)! (1/2) (3/2) ... ((2n-1)/2) ~ n!/sqrt(n)
> 
> Donde
> 
> (-1/2)! = n!/( sqrt(n) (1/2) (3/2) ... ((2n-1)/2) )
>         = 2^n n!/( sqrt(n) 1 * 3 * ... * (2n-1) )
>         = 2^n n! (2 * 4 * ... * (2n))/(sqrt(n) 1 * 2 * ... * (2n))
>         = 4^n (n!)^2 / ( sqrt(n) (2n)! )
>         ~ 4^n (n^n e^(-n) sqrt(2 Pi n))^2
>             / (sqrt(n) (2n)^(2n) e^(-2n) sqrt(2 Pi 2n))
>         = sqrt(Pi)
> 
> Também pode-se demonstrar este fato via integrais, mas fica para outra
> mensagem...
> 
> []s, N.
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau


Modestamente, permito-me discordar:

A função fatorial caracteriza-se, tipicamente, por possuir como domínio o 
conjunto dos números inteiros positivos:

n! = produtório de 1 até n ; e
0! = 1 .

A função Gama COINCIDE com a função fatorial para os inteiros positivos, 
através da equação:

Gama(n+1) = n!

Não obstante, qq. extrapolação ou generalização pode ser válida, desde q. não 
contrarie a base axiomática e tenha alguma finalidade prática ou teórica.

Sds.,

Albert.