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Pedro Henrique Calais,
Há uma maneira algébrica de se resolver este problema
através de proporções para quaisquer que sejam os valores.
Demonstrarei após resolvê-lo de uma maneira mais
simples.
Primeira Solução
Como
ambos minérios produzem a mesma quantidade do segundo mineral por kg,
isto é, 5 g de mineral, e nos é pedido uma produção
total de 95 g deste, podemos dizer que a soma da massa dos minérios
será 95/5, ou seja 19 kg. Considerando a massa do primeiro minério
como M, e a do segundo como N, em kg, temos:
I) M + N = 19
Sabendo que o quanto ambos minérios produzem do primeiro mineral por kg,
e o total pedido deste mineral, podemos solucionar o problema facilmente.
Observe:
II) 3M + 4N = 72
Utilizando-se do método de solução de sistemas, denominado
adição, obteremos os valores de M e N, ou seja, as massas do
primeiro e do segundo minério em kg. Para isto, basta, primeiramente,
multiplicar a primeira sentença por -3. (Poderia ser utilizada qualquer
operação que mantivesse o valor da sentença e facilitasse a
resolução. Esta, para mim, é a melhor maneira.) Assim,
obtemos:
I) - 3M - 3N = - 57
III) 3M + 4N + ( - 3M - 3N) = 72 + ( -
57)
(Adição de I e II)
III) N = 15 kg
Substituindo N na primeira sentença, obtemos M.
IV) M + 15 = 19
IV) M = 4 kg
Aí está o problema solucionado. Serão
necessários 4 kg de Minério I e 15 kg de Minério II, para
obtermos 72 g de mineral x e 95 g de mineral y.
Segunda Solução
Denominando a quantidade de minério I em kg de M e a quantidade de
minério II também em kg de N, a quantidade do mineral x em g de x
e a quantidade do mineral y em g de y, poderemos resolver o problema.
Porém, devemos diferenciar a quantidade de minerais provindas de cada
minério. Definiremos cada uma com as respectivas
variáveis:
x' - quantidade de mineral x
provinda do minério I
x'' - quantidade de mineral x provinda do minério
II
y' - quantidade de mineral y provinda do minério
I
y'' - quantidade de mineral y provinda do minério
II
Podemos estabelecer as seguintes proporções:
I) x'/3 = y'/5 = M
II) x''/4 = y''/5 = N
Estabeleceremos também o que nos é pedido e
informado.
III) x = x' + x'' = 72
IV) y = y' + y'' = 95
Desenvolvendo I e II, e substituindo-os em III, obtemos:
I) x' = (3/5) . y'
II) x'' = (4/5) . y''
III) x = (3/5) . y' + (4/5) . y'' = 72
Note
que assim como x' e x'', y' e y'' são incógnitas de valor
algébrico diferente, e portanto, não podem ser somadas. Observe
que as sentenças III e IV formam um sistema de duas variáveis, y'
e y''. Solucionando-o, obteremos rapidamente os valores de M e N. Multiplicarei
III por 5 e IV por -3.
III) 3y' + 4y'' = 360
IV) - 3y' - 3y'' = - 285
V) 3y' + 4y'' + ( - 3y' - 3y'') = 360 + ( -
285)
V) y'' = 75
A
partir da sentença V, podemos encontrar y', substituindo-a em IV. A
partir dos valores de y' e y'' encontrados, substituiremos estes em I e II,
encontrado, desta forma, os valores de M e N.
VI) y' + 75 = 95
VI) y' = 20
I) M = 20/5 = 4
II) N = 75/5 = 15
Os mesmos
valores encontrados na primeira solução, foram encontrados na
segunda.
Thadeu Lima de Souza
Cascardo
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