Re: carta

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

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end

On Wed, 24 Feb 1999, Linneu wrote:

> Prezado prof. Nicolau C. Saldanha.
> 
> Gostaria de obter orientação relativa à solução do seguinte problema:
>        Dados  p(0) = (0,0), p(1) = (1,0), p(2) =(1,1), p(3)=(0,1), e para to k inteiro maior e igual  a aero, vale:p(k+4)=(p(k)+p(1))/2. Pondo q(k) =
> [p(k)+p(k+1)+p(k+2)+p(k+3)]. e  a(k) = int(q(k)), provar : a intersecção de todos  a(n)  = ( 4/7,4/7).
>        
>          Observações:
> 1  Indicaremos com B4k o baricentro de  q(4k).
> 2. Sejam : i) T a TRANSLAÇÃO definida pelo vetor  PkBk
>                ii) H a HOMOTETIA de centro p(k) e razão 1/8
>               iii) Seja; r(4k) = (ToH)(q(k))  
>               ivi)  Chutando:A intersecção da diagonal p(0)p(2) com a(k) não é     
>                    vazia
>                v)  Churtando, novamente, ponto ((1/2)^(3k+1}, (1/2)^(3k+1)) da    
>                    diagonal p(0)p(2)  pertence ao quadrilátero a(k)
>                     Conclusão   ( 4/7,4/7) ....??? 

A conclusao eh correta mas a demosntracao esta incompleta, como voce
proprio observou. 

> 
>                Procurei  evitar o uso das sequencias recorrentes  tendo em   
>                vista ficar restrito à Geometria Elementar, evitando teoria mais avançada da An;alise...
> 

Eh dificil fazer uma demonstracao ao mesmo tempo correta, completa,
relativamente simples e curta para este problema restringindo-se aa
geometria elementar. Usando sequencias recorrentes eh facil provar
que as coordenadas de p(n) sao ambas da forma

4/7 + const. a^n + const. b^n + const. c^n

onde 1, a, b e c sao as raizes de x^4 = (1+x)/2.
Eh facil verificar que os modulos de a, b e c sao menores do que 1,
o que garante que p(n) tende para (4/7,4/7).
Os valores aproximados de a, b e c sao:

-.6477988713, -.1761005644 - .8607166186 I, -.1761005644 + .8607166186 I

Mas se voce preferir uma solucao mais elementar (porem algebrica)
pode observar que 

p(n) + 2 p(n+1) + 2 p(n+2) + 2 p(n+3) = (4,4)

para qualquer valor de n; isto pode facilmente ser demonstrado
por inducao. Assim, o limite, SE EXISTIR, deve ser (4/7,4/7).
Fica faltando demostrar que o limite existe...



>                Sou professor aposentado, completarei 80 anos no próximo dia 7 de março. Brinco com problemas  ~como exercício metal e passatempo...

Vou mandar para seu endereco eletronico um convite para entrar na lista
obm-rj@mat.puc-rio.br
Esta lista eh para discutir problemas elementares de matematica,
exatamente como este.

>                Ha tempo ao saber que um jovem brasileiro Nicolau Corção de Saldanha obtinha a primeira classificação em O.M nos  EEUU, pensei  comigo: Seria um parente de Gustavo  Corção  brilhante escritor e lider católico. .

Sou neto do Gustavo Corcao que voce conhece.

> 
>             Com abraço, Linneu
> João Linneu do Amaral Prado
> R. José Bernardi, 27
> Jau -  S.P.       17209 14  
> 
>                homenagem    
> 



Abracos, Nicolau