Re: [obm-l] Trigonometria

["Henrique Rennó" <henrique.renno@xxxxxxxxx>]

On 10/14/07, rejane@rack.com.br <rejane@rack.com.br> wrote:
> 1) considere a função f(x) = arc cos (2x dividido por 1+x)
> calcule F(pi sobre 2).

Se substituirmos x por pi/2 teremos

(2*pi/2) / (1+pi/2)

Cancelando o 2 que multiplica e divide no numerador.
Multiplicando e dividindo o 1 por 2 para que fique com o mesmo
denominador que pi/2 e possamos somar os numeradores.

pi / (2/2+pi/2) = pi / (2+pi)/2

O inverso do inverso de 2 é o próprio 2, ou seja, 1 / 1/2 = 2. Logo o
2 dividindo pi+2 se torna um 2 multiplicando pi no numerador.

pi / (2+pi)/2 = 2pi/(pi+2) que é um valor maior do que 1, pois 2pi é
aproxidamamente 6,28 e pi+2 é aproximadamente 5,14 (já que pi é
aproximadamente 3,14). 6,28 / 5,14 > 1

O valor de cos(x) está sempre no intervalo [-1,1], logo não é possível
calcular o arccos dado no problema.

A função dada e o valor pedido estão corretos?

> 2) Resolva em R
> tgx + tg2x - tg3x = 0

As duas igualdades ajudarão na resolução do problema. Elas são obtidas
através da relação tg(x+y) = (tgx + tgy)/(1 - tgx*tgy) que pode ser
obtida das relações de seno da soma e coseno da soma de 2 ângulos x e
y.

tg2x = 2tgx / (1 - (tgx)^2)
tg3x = (3tgx - (tgx)^3) / (1 - 3(tgx)^2)

tgx + tg2x - tg3x = 0  --> tg3x = tgx + tg2x

(3tgx - (tgx)^3) / (1 - 3(tgx)^2) = tgx + 2tgx / (1 - (tgx)^2)

Multiplicando tgx do lado direito da igualdade por (1 - (tgx)^2) temos

(3tgx - (tgx)^3) / (1 - 3(tgx)^2) = (tgx - (tgx)^3) / (1 - (tgx)^2) +
2tgx / (1 - (tgx)^2)

(3tgx - (tgx)^3) / (1 - 3(tgx)^2) = (tgx - (tgx)^3 + 2tgx) / (1 - tgx)^2)

(3tgx - (tgx)^3) / (1 - 3(tgx)^2) = (3tgx - (tgx)^3) / (1 - (tgx)^2)

Multiplicando toda equação por (1 - (tgx)^2), depois por (1 -
3(tgx)^2) e depois por 1 / (3tgx - (tgx)^3) obtemos

1 - (tgx)^2 = 1 - 3(tgx)^2

Subtraindo 1 de cada lado e somando 3(tgx)^2 em cada lado

2(tgx)^2 = 0

Dividindo ambos lados por 2

(tgx)^2 = 0

Para que a igualdade seja válida, tgx tem que ser 0, o que é possível
quando x = k*pi, para k pertencente aos inteiros, ou seja, ..., -3,
-2, -1, 0, 1, 2, 3, ...

A tgx é 0 para x = k*pi e k em Z pois tgx = senx / cosx e senx é 0
quando x = k*pi e k em Z.

Logo, x = k*pi, k pertencente a Z é solução de tgx + tg2x - tg3x = 0

-- 
Henrique

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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