Re: RES: [obm-l] integral

["Ivan lopes" <lopesivan.del@xxxxxxxxx>]

f(t) = t/(1 - sqrt(2) t - t^2)

zeros
=====

      1 - sqrt(2) t - t^2 = 0
 ->   1 - sqrt(2) t - t^2
 -> t^2 + sqrt(2) t - 1 = 0

    t1 =  [sqrt(6) - sqrt(2)]/2
    t2 = -[sqrt(6) + sqrt(2)]/2

retornando a quacao inicial

f(t) = t/(1 - sqrt(2) t - t^2)

f(t) = t/[(t-t1)(t-t2)]

decompondo em fracoes parciais ...

f(t) = A/(t-t1) + B/(t-t2)

A = lim(t,t1) (t-t1)f(t) = lim(t,t1) t/(t-t2) = t1/(t1-t2)
B = lim(t,t2) (t-t2)f(t) = lim(t,t2) t/(t-t1) = t2/(t2-t1)

entao:

f(t) = A/(t-t1) + B/(t-t2)

-> integrate f(t)dt = integrate [A/(t-t1)]dt +
                      integrate [B/(t-t2)]dt

-> integrate f(t)dt = A.integrate [1/(t-t1)]dt +
                      B.integrate [1/(t-t2)]dt

-> integrate f(t)dt = A.ln[(t-t1)] + B.ln[(t-t2)]

substituindo A e B, pelos seus respectivos valores, temos:

-> integrate f(t)dt = {t1/(t1-t2)}ln(t-t1) +
                      {t2/(t2-t1)}ln(t-t2)

-> integrate f(t)dt = {t1/(t1-t2)}ln(t-t1) -
                      {t2/(t1-t2)}ln(t-t2)

-> integrate f(t)dt = {1/(t1-t2)}ln(t-t1)^t1 -
                      {1/(t1-t2)}ln(t-t2)^t2

-> integrate f(t)dt = {1/(t1-t2)}{ ln(t-t1)^t1 - ln(t-t2)^t2 }

-> integrate f(t)dt = {1/(t1-t2)}{ ln [(t-t1)^t1]/(t-t2)^t2  }

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Pohhhh cara, tu mudou o problema ????? hahahahhaha!!!!!!

f(t) = t/(1 - sqrt(2)t + t^2)

temos que:
   1 - sqrt(2)t + t^2
-> t^2 - sqrt(2)t + 1
-> t^2 - sqrt(2)t + 1/2 + 1/2
-> t^2 - 2[sqrt(2)/2]t + 1/2 + 1/2
-> (t - sqrt(2)/2)^2 + 1/2

f(t) = t/[(t - sqrt(2)/2)^2 + 1/2]

sendo r  = t - sqrt(2)/2
      dr = dt
      t  = r + sqrt(2)/2

substituindo, temos
   f(t) = t/[(t - sqrt(2)/2 )^2 + 1/2]

   f(r) = (r + sqrt(2)/2)/[(r + sqrt(2)/2 - sqrt(2)/2)^2 + 1/2]

-> f(r) = (r + sqrt(2)/2)/(r^2 + 1/2)

-> f(r) = r/(r^2 + 1/2) + (sqrt(2)/2)/(r^2 + 1/2)

obs:

#1 integrate r/(r^2 + 1/2) dr = ln(r^2 + 1/2)

	como r = t - sqrt(2)/2,

integrate r/(r^2 + 1/2) dr = ln(t^2 - sqrt(2) + 1)

#2 integrate (sqrt(2)/2)/(r^2 + 1/2) dr      =
  (sqrt(2)/2) integrate [ 1/(r^2 + 1/2)] dr  =
  (sqrt(2)/2) arctan (r^2)/(1/2) =
  (sqrt(2)/2) arctan 2(t -sqrt(2)/2)^2

resposta:

integrate f(t) = ln(t^2 - sqrt(2) + 1) + (sqrt(2)/2) arctan 2(t -sqrt(2)/2)^2

obs:
tem um programa muito legal chamado maxima, ele pode te ajudar nesse tipo de
questao.

exemplo:
$ echo "integrate(t/(1-sqrt(2)*t +t^2),t);"| maxima -q
(%i1) 		        2
		    log(t  - sqrt(2) t + 1)            2 t - sqrt(2)
(%o1) 		 ----------------------- + atan(-------------)
			         2      		       sqrt(2)
(%i2)

referencias:
http://www.swarthmore.edu/NatSci/echeeve1/Ref/LPSA/PartialFraction/PartialFraction.html
http://en.wikipedia.org/wiki/Table_of_derivatives
http://en.wikipedia.org/wiki/Table_of_integrals
http://wxmaxima.sourceforge.net/wiki/index.php/Main_Page
http://maxima.sourceforge.net/

[]'s
Ivan Carlos Da Silva Lopes
UFRJ/Cornell
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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