[obm-l] análise complexa

[Demetrio Freitas <demetrio_freitas_2002_10@xxxxxxxxxxxx>]

Bom dia,

Quero colocar uma dúvida sobre análise complexa:

Vamos definir a função f:=ln(z)^2/(2*z^2-2*z+1),
utilizando como convenção para o ln(z), z=x+I*y, ln(z)
= ln(abs(z)+I*arg(z);  onde  0<=arg(z)<=2*Pi

Se não estou enganado esta função é analítica no
semiplano complexo y>0, exceto por um pólo simples. E,
o branch cut do ln(z) está no eixo y=0, x>0. Isso
facilita a vida de quem, por exemplo, quer calcular a
integral abaixo:
g:= int( ln(x)^2/(2*z^2-2*z+1), x=-oo .. oo )

Como o resíduo de f em z=1/2+1/2*I  é
r:=(-ln(2)/2+Pi/4*I)^2*(-I/2), temos que:

g = 2*Pi*I*r = 2*Pi*I*(-ln(2)/2+Pi/4*I)^2*(-I/2) =~
-1.560545378-1.710272117*I

Até aí tudo muito bem.

Agora vamos supor f1:= ln(1/z)^2/(2*z^2-2*z+1). 
Como devemos definir ln(1/z), z=x+I*y?

Em princípio me parece mais coerente:
ln(1/z) = ln(1/(x+y*I)) = ln(abs(1/(x+y*I)))
+I*arg(1/(x+y*I))

Exemplo:
ln(1/(1/2+1/2*I)) = ln(1-I) = ln(2)/2 +7/4*Pi*I

Essa definição porém, fracassa para calcular a
integral abaixo por resíduos:

g1:= int( ln(1/x)^2/(2*z^2-2*z+1), x=-oo .. oo )  =~
-1.560545378+1.710272117*I (valor numérico calculado
no maple)

Para isso, parece que seria necessário definir
ln(1/z), z=x+I*y, como segue:
ln(1/z) = ln(1/(x+y*I)) = ln(abs(1/(x+y*I)))
+I*arg((x+y*I))

Exemplo:
ln(1/(1/2+1/2*I)) = ln(abs(1-I)) + arg(1/2+1/2*I) =
ln(2)/2 +1/4*Pi*I

Desta forma teríamos:
2*Pi*I*(ln(2)/2+Pi/4*I)^2*(-I/2) =~
-1.560545378+1.710272117*I, que é o valor correto.

Porém esta segunda forma de definir ln(1/z) não me
parece coerente, pq neste caso ln(1/z) != ln( (1/z) ),
ex, ln(1-I) != ln( 1/(1/2+1/2*I) )... De modo que acho
que estou me enrolando com alguma coisa. O vcs acham?

[]´s Demetrio



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