Re: [obm-l] numera��o

[Carlos Eddy Esaguy Nehab <carlos@xxxxxxxxx>]

Oi, Kleber,

Se eu entend� o que voc� perguntou voc� quer saber a quantidade total de
s�mbolos usados para escrever de 1 at� 10^n -1 , � isto?

Por exemplo (se eu entendi...), para escrever de 1 a 99 no nosso sistema
decimal usual, � necessario usar 9 s�mbolos para os n�meros de (1 a 9),
mais 180 s�mbolos para escrever de 10 a 99 (que corresponde a 2 simbolos
para cada um dos 90 n�meros), etc:

Se minha interpreta��o esta correta, vamos l�:

-  Decimal usual
Qde = (10 - 1) + 2* (100 - 10) + 3 * (1000 - 100) + ... + n [10^n -
10^(n-1) ]
Qde = n.10^n - [ 1 + 10 + 100 + 1000 + ...+ 10^(n-1) ]   
(note a PG)
Qde = n.10^n - (10^n - 1)/9

Eg�pcio  
Suponha, por exemplo, que voc� escreveu os n�meros de 1 a 99 e que usou
at� ai X s�mbolos.  Para escrever os n�meros de 101 a 999 precisamos
"unir"  as escritas destes 99 n�meros n�meros com:
- 1 s�mbolo de 'centena' para escrever os n�meros de 101 a 199 (falta o
100);
- 2 s�mbolos de 'centena' para escrever os n�meros de 201 a 299 (falta o
200); 
- 3 s�mbolos de 'centena' para escrever os n�meros de 301 a 399 (falta o
300)...
...
- 9 s�mbolos de 'centena' para escrever os n�meros de 901 a 999;

Mas ficaram faltando o 100, 200, ... e o 900, o que exige um total
(1+2+...+9) s�mbolos de centena, ou seja, 45 s�mbolos a mais.

Ent�o, no total, para escrevermos os n�meros de 100 a 999 usamos  9X
+ 45 s�mbolos ! 

De uma maneira geral (perceba que o racioc�nio anterior se mant�m),
chamando de Q(n) a quantidade de s�mbolos para escrever os numeros de 1 a
10^n - 1 usaremos 9 vezes esta quantidade para completar a escrita de
10^n at�  10^(n+1) -1 acrescidos de 1+2+3+...+9 = 45 s�mbolos. 
Assim: 
Q(n+1) = Q(n) + 9 Q(n) + 45 , ou seja, Q(n+1) = 10.Q(n) + 45 e obviamente
Q(1) =  45  (1 pauzinho mais 2 pauzinhos, etc) 

Esta recorr�ncia � cl�ssica (uma progress�o aritm�tica-geom�trica). 
Logo,  Q(n) = 5(10^n - 1)

Espero n�o ter me distra�do...  

Abra�os,
Nehab

PS: Possivelmente para o caso eg�pcio n � no maximo 6 pois n�o conhe�o
s�mbolo maior que 1 milh�o neste sistema de numera��o.

At 12:00 12/9/2007, you wrote:
> Considere o sistema de numera��o
> por agrupamento aditivo eg�picio e o sistema de numera��o decimal
> indo-ar�bico.
>  
> Para cada n pertencente aos naturais, determine express�es para as
> quantidades de s�mbolos necess�rios para expressar todos os n�meros
> naturais menores que 10^n em cada um dos sistemas.
>
> -- 
> Kleber B. Bastos