RES: [obm-l] divisibilidade II

["Artur Costa Steiner" <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

Oi Carlos,

 

Vejamos o seguinte

 

Seja N o n�mero que, na base 10, tem representa��o, a_n a_(n-1).....a_0 e seja P o polinomio dadao por P(x) = a_n x^n + a_(n-1)x^(n-1).......+ a_0. Temos, entao, que N = P(10). Sendo 0 < k < 10 um inteiro, ent�o o teorema de Taylor, particularizado para polin�mios, nos mostra que k|N se, e somente se, k | P(10 - k). No caso, k = 7 e nosso polin�mio tem os 99 primeiros coeficientes iguais a 9 e o das unidades igual a 6. Como este numero e 3^100 - 4, que vimos ser divisivel por 7, segue-se que P(3) � divis�vel por 7. E temos que P(3) = 9 *3^99 + 9 * 3^98.....+ 9 * 3 + 6 = 9 (3^100 - 3)/2 + 6 =   (9 *3^100 - 27 + 12)/2 =   (9 *3^100 - 15)/2 = (3(3^101 - 5)/2. Logo, este n�mero � divis�vel por 7. Pode ser cultura um tanto in�til, mas achei isso legal.

Artur 

-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em nome de Carlos Eddy Esaguy Nehab
Enviada em: quarta-feira, 15 de agosto de 2007 22:28
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] divisibilidade II

Oi, Arthur,

De fato  3^101 - 5  � divis�vel por 7 mas n�o consegui enxergar a rela��o deste fato com a dica que eu havia dado para o Francisco?  Pode me explicar melhor ?

S� consegui ver que  7  divide  3^101 - 5  usando aritm�tica modular.   Acho que voc� sacou alguma coisa que eu n�o v�... 

Abra��o,
Nehab

PS:
O que fiz:  3^6  = 729 = 1 (mod 7)  --->  3^96 = 1^16 = 1 (mod 7); mas 3^5 = 243 = 5 (mod 7); ent�o  3^101 = 5  (mod 7). 

At 18:03 15/8/2007, you wrote:

E como decorrencia disto, segue-se que (3 (3^101 - 5))/2 eh divisivel por 7. Certo?
Artur
 
 
 
 -----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [ mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em nome de Carlos Eddy Esaguy Nehab
Enviada em: quarta-feira, 15 de agosto de 2007 17:14
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] divisibilidade

Oi, Francisco,

O correto � 10^100 - 4  e n�o 10^100 - 6.  

Tipicamente estes exerc�cios devem ser resolvidos usando "m�dulo".   Mas este, em especial, d� pra fazer at� diretamente...

Solu��o 1)

Note que o 10^100 - 4 � um monte de noves (ou seja, 99 noves) terminando com um 6, correto?

Mas cada grupo de seis noves (999999) � divis�vel por 7 dando 142857.   Ap�s os 96 primeiros algarimos (do dividendo) voc� ter� obtido no quociente 16 vezes a seq��ncia 142857 e sobrariam os algarismos 9996 para terminar a divis�o.

Mas 9996 � divis�vel por 7 dando 1428.

Solu��o 2)

Note a seguinte propriedade (pode prov�-la: � um exerc�cio simples e elegante):

Seja N = (Mr), ou seja, os algarismos iniciais de N comp�em o n�mero M e seu �ltimo algarismo (de N) � r.

Ent�o N � divis�v�vel por 7 sss  M - 2r � divis�vel por  7.

Usando esta propriedade tamb�m d� para resolver seu problema (tente).

Abra�os,

Nehab

PS: Deixo a solu��o por "m�dulo" para os demais colegas.

Abra�os,

Nehab

At 15:39 15/8/2007, you wrote:

Como mostro que 7 | (10^100 - 6)  ?

 

Grato.

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