Re: RES: [obm-l] Provar que k + raiz(k^2 +a ) eh irracional

[silverratio@xxxxxxxxx]

Ol�,

� preciso ser um pouco cuidadoso com essa quest�o de transcend�ncia.

Eu responderia n�o � primeira pergunta do Dem�trio.
V�rias quest�es precisam ser respondidas quando voc� fala em grau infinito.

Eu entendo que com grau infinito voc� estaria provavelmente se referindo
� uma s�rie. Mas isso est� longe de ser suficiente..

No exemplo do Ronaldo, pi/4 � solu��o de tg (x) = 1.
Mas x = 0 � solu��o de sen(x) = 0.
Posso expressar sen(x) igualmente bem em s�rie de pot�ncia, e
no entanto 0 est� longe de ser transcendente.

Isto mostra que qualquer n�mero a princ�pio pode ser solu��o de
uma equa��o que envolva uma s�rie, ou a expans�o em s�ries
de uma fun��o.

Quanto � segunda pergunta, n�o sei � qual prova o Ronaldo est�
se referindo.
O que eu sei que Liouville fez foi dar uma caracteriza��o dos
n�meros transcendentes � partir do que ele chamou de aproxima��es
racionais, o que � diferente de pensar em s�ries, ou "polin�mios infinitos".
Trata-se de aproximar n�meros com SEQU�NCIAS de racionais.

Provar a transcendentalidade, ou mesmo irracionalidade, n�o � uma
tarefa trivial.. especialmente a primeira.
Existe um Teorema famoso que foi provado Gelfond, e independentemente
por Schneider, que diz o seguinte:

TEOREMA (Gelfond & Schneider):
* Se X e Y s�o n�meros alg�bricos, X � diferente de zero e um, e B n�o
� racional, ent�o X^Y � transcendente.

Como exemplo, temos que e^(pi) (mas n�o e + pi) � transcendente,
bem como 2^sqrt(2).
Contudo, a demonstra��o de tal teorema n�o � f�cil.
Eu citaria como refer�ncia o livro do Ivan Niven, "Irrational Numbers".

Abra�o,

- Leandro.